Aloha :)
Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird.
Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen wird.
zu a) \(\quad f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R^3\;,\;f(x;y)=(x\,;\,y-x^2\,;\,y^3)\)
Der Punkt \((1|0|0)\) der Zielmenge wird nicht getroffen, denn dafür muss \(x=1\) sein, damit die erste Koordinate \(1\) wird und es muss \(y=0\) sein, damit die dritte Koordinate \(0\) wird. Die Abbildungsvorschrift liefert dann aber als zweite Koordinate zwingend \((-1)\). Daher ist \(f\) nicht surjektiv.
Zur Untersuchung der Injektivität nehmen wir an, es gibt zwei Werfer \((x_1;y_1)\) und \((x_2;y_2)\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb R^2\), die dasselbe Ziel treffen:$$f(x_1;y_1)=f(x_2;y_2)\implies\begin{pmatrix}x_1\\y_1-x_1^2\\y_1^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_2\\y_2-x_2^2\\y_2^3\end{pmatrix}\implies x_1=x_2\,\land\,y_1=y_2$$Wegen der ersten und dritten Koordinate muss \(x_1=x_2\) bzw. \(y_1=y_2\) sein. Daher gibt es keine zwei unterschiedlichen Werfer, die dasselbe Ziel treffen. Die Funktion \(f\) ist injektiv.
zu b) \(\quad f\colon\mathbb R^3\to\mathbb R^2\;,\;f(x;y;z)=(2x-y\,;\,z)\)
Wegen \(f(0;0;0)=(0;0)\) und \(f(1;2;0)=(0;0)\) wird das Ziel \((0;0)\) zwei Mal getroffen, sodass die Funktion \(g\) nicht injektiv ist.
Zur Untersuchung der Surjektivität wählen wir ein beliebiges Element \((a;b)\in\mathbb R^2\) aus der Zielmenge aus und prüfen, ob wir einen Werfer \((x;y;z)\) aus der Definitionsmenge finden, der es trifft. Dieser ist nicht schwer zu finden, denn:$$f(0;-a;b)=\binom{2\cdot0-(-a)}{b}=\binom{a}{b}$$Daher wird jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal getroffen. Die Abbildung \(g\) ist also surjektiv.
