Hallo,
es seien also B und C m-n-Matrizen. Der Kern von B habe die Dimension k, er habe also eine Basis \((v_1, \ldots v_k)\), die Matrix, deren Spalten aus diesen Vektoren besteht sei V. Weil \(Kern(B) \sube Kern (C)\), kann ich durch Ergänzung eine Basis für den Kern von C finden: \((v_1, \ldots v_k, \ldots v_j)\), dBV=0\ie entsprechende Matrix sei W.
Dann gilt also \(BV=0\) und \(CW=0\). Daraus folgt:
$$V^TB^T=0 \text{ und }W^TC^T=0$$
(0 bezeichne die jeweils passende Null-Matrix). Jetzt stimmen ja die ersten k Zeilen von W^T und V^T überein, d.h. für jeden Vektor x gilt \(C^Tx=0 \Rightarrow B^T x\), d.h. \(Kern(W^T) \sube Kern(B^T)\). Und die Spaltenräume von B^T bzw C^T sind die Zeilenräume von B bzw C
Gruß Mathhilf
