Trapez und Vektoren, Beweis

Question

Aufgabe:

In einem Trapez ABCD mit den parallelen Seiten AB und CD ist der Punkt P der Mittelpunkt von AB und der Punkt Q der Mittelpunkt von CD. Beweisen Sie: Das Doppelte des Vektors QP ist gleich der Summe der Vektoren DA und CB

Problem/Ansatz:

Komme nicht auf den Ansatz, entschließt sich meiner Logik.

gerne auch komplette Lösung

vielen Dank!

Answer 1

Lege das Ganze in ein Koordinatensystem mit 0-Punkt A.

Und seien b,c,d die Ortsvektoren der Punkte B,C,D.

"Trapez" bedeutet dann :

Der Vektor CD = d-c  ist ein Vielfaches von b

also: Es gibt ein k mit   d-c = k*b

Und es ist p = 0,5b  und q= 0,5(c+d).

Summe der Vektoren DA = d  und CB = b-c ist

d +  b-c =  d-c + b = k*b + b = (k+1)*b

Das Doppelte des Vektors QP = 2* (p-q) 

 = 2* (  0,5b - 0,5(c+d))

 =  b - c + d

 =  d-c + b  =  k*b + b = (k+1)*b

also in der Tat das Gleiche.