Zeige: Fn Fermatzahl, Für jeden Primteiler q von Fn gilt q=1 mod 2^(n+2)

Question

Aufgabe:

Sei n≥2 und F_n=2^{2^n}+1 die n-te Fermat Zahl. Zeige: Für jeden Primteiler q von F_n gilt q=1 mod 2ⁿ⁺

Hinweis: Betrachte die Ordnung von 2 in $$(\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})^*$$ und $$\frac{2}{q}$$.

Bemerkung: Mithilfe dieser Kongruenzbedingung für die Primteiler der Fermatzahlen konnte Euler eine Faktorisierung von F₅=2³²+1=4294967297 finden. Versuchen Sie, seine Strategie nachzuvollziehen und ebenfalls einen Primfaktor von F₅ zu ermitteln...