Ordnungssteuerung, Bei einem linearen k-Schritt-Verfahren

Question

Aufgabe:

Ordnungssteuerung.
Bei einem linearen $k$-Schritt-Verfahren mit Konsistenzordnung $p \geq 1$ besitzt der lokale Diskretisierungsfehler die Formel
$\tau(h)=h^{p} y^{(p+1)}(x) \frac{1}{(p+1) !}\left[\sum \limits_{\ell=1}^{k} \alpha_{\ell} \ell^{p+1}-(p+1) \beta_{\ell} \ell^{p}\right]+\mathcal{O}\left(h^{p+1}\right) .$

a) Werten Sie für jeweils das Adams-Moulton-Verfahren mit $k=1$ und $k=2$ Schritten die obige Formel aus, um in $\tau(h)=C y^{(p+1)}(x) h^{p}+\mathcal{O}\left(h^{p+1}\right)$ die Konstante $C$ zu erhalten.

b) Der Restterm $\mathcal{O}\left(h^{p+1}\right)$ wird nun vernachlässigt. Es soll $|\tau(h)| \approx$ TOL mit einer größtmöglichen Schrittweite $h$ bei gegebenem TOL $>0$ erreicht werden. Bestimmen Sie, ob man das Adams-Moulton-Verfahren mit ein oder zwei Schritten bei folgenden Anfangswertproblemen verwenden sollte:

i) $y^{\prime}=x^{2}, y(0)=0, x \geq 0$ beliebig.

ii) $y^{\prime}=-\frac{7}{2} y^{\frac{5}{7}}, y(0)=1, x \approx 1(x<1)$. Die Lösung lautet $y(x)=(\sqrt{1-x})^{7}$.

iii) $y^{\prime}=y, y(0)=1, x \approx 0$.

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus! :)

Comments

Hat keiner Ahnung ?