Bestimmen Sie die Extremstellen im Fall der Existenz.

Question

Untersuchen Sie die Funktion \( f(x)=x^{3}+3 a x^{2}+3 b x+c \), \( x \in \mathbb{R} \), auf das Auftreten von globalen und lokalen Extrema in Abhängigkeit von den Parametern \( a, b, c \in \mathbb{R} \). Bestimmen Sie die Extremstellen im Fall der Existenz.

Geben Sie weiterhin die Intervalle an, in denen \( f \) monoton wachsend bzw. monoton fallend ist.

In Ihrer Lösung werden Sie eine Fallunterscheidung bzgl. der Parameter \( a, b, c \) machen müssen.

Answer 1

f '(x)=3x²+6ax+3b. An Extremstellen gilt 0=3x²+6ax+3b also an den Stellen x_1/2=-a±\( \sqrt{a^2-b} \).