Ist die Gruppe abelsch?

Question

Text erkannt:

Sei \( G:=\{a, b, c\} \) und \( \diamond: G \times G \rightarrow G \) eine Verknüpfung. Vervollständigen Sie die folgende Verknüpfungstafel so, dass \( (G, \diamond) \) eine Gruppe ist und beweisen Sie Ihre Behauptung. Ist die Gruppe abelsch?

Comments

In jeder Zeile und in jeder Spalte kommt jedes Element

genau einmal vor. Experimentiere bitte selbst damit !

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Und noch ein Tipp:

Wegen b ◊ c = b ist c das neutrale Element.

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Hat sich erledigt! :D :)

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(a◊b)◊c = c ◊ c = c und
a ◊ ( b ◊ c ) = a ◊ c = a

Nach deiner Tabelle ist doch

(a ◊ b) ◊ c = c ◊ c = c

a ◊ ( b ◊ c ) = a ◊ b = c

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zu (G4) Inverse Elemente:

kann man sagen, dass ∀ a ∈ G ∃ a' ∈ G: a' ◊ a = e (bzw. c, da c neutrales Element)

daraus folgt: a' = b, b' = a, c' = c

?

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Ja, genau das kann man sagen

a und b sind bzgl ◊ invers zueinander

und c ist selbstinvers bzgl. ◊

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Dankeschön! :)

Answer 1

kann man sagen, dass ∀ a ∈ G ∃ a' ∈ G: a' ◊ a = e (bzw. c, da c neutrales Element)

daraus folgt: a' = b, b' = a, c' = c

Ich würde das noch genauer begründen.

Nach der Erkenntnis mit dem neutralen El. sieht

doch das Innere der Tabelle so aus

?   ?    a
?   ?    b
a   b    c

und für die ? bleibt ja nicht mehr viel:

Etwa in der ersten Zeile, angenommen es wäre   a ◊ a = c

dann bliebe für   a ◊ b nur noch b als Ergebnis, dann müsste

a das neutrale El. sein, im Widerspruch zum Bisherigen.

Also bleibt nur   a ◊ a = b und a ◊ b = c, also so

b   c   a
c   a   b
a   b   c