Basen von Bilinearformen

Question

Aufgabe:

(1) Sei $\phi: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ eine symmetrische Bilinearform $(n \geq 1)$. Zeigen Sie, dass es eine Basis $\mathcal{B}$ von $\mathbb{R}^{n}$ gibt, so dass

$M_{\mathcal{B}}(\phi)=\operatorname{diag}(\underbrace{1, \ldots, 1}_{r \text {-mal }}, \underbrace{-1, \ldots,-1}_{s \text {-mal }}, \underbrace{0, \ldots, 0}_{t \text {-mal }}),$

wobei $r, s, t \geq 0$ mit $r+s+t=n$ und $\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots a_{n}\right)$ bezeichnet die $n \times n$-Matrix, die $a_{1}, \ldots, a_{n}$ auf der Diagonalen hat (in dieser Reihenfolge) und sonst nur 0 'en als Einträge.

(Hinweis: Sei $\mathcal{B}^{\prime}=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ eine Basis, so dass $M_{\mathcal{B}^{\prime}}(\phi)$ Diagonalgestalt hat. Mach Sie den Ansatz $\mathcal{B}=\left\{\lambda_{1} v_{1}, \ldots, \lambda_{n} v_{n}\right\}$, für geeignet gewählte $\lambda_{i} \in \mathbb{R}$.)

(2) Gegeben sei die Abbildung $q: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ mit

$q\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{1 \leq i \leq j \leq n} b_{i, j} x_{i} x_{j}$

für gewisse $b_{i, j} \in \mathbb{R}$. Schließen Sie aus (1), dass es $r, s \geq 0$ und $S \in G L_{n}(\mathbb{R})$ gibt, so dass $q(x)=q_{r, s}(S x)$, wobei

$q_{r, s}\left(\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)\right)=\sum \limits_{i=1}^{r} x_{i}^{2}-\sum \limits_{i=r+1}^{s+r} x_{i}^{2}$

Problem/Ansatz:

Die Art des Beweises fällt mir voll schwer, da wir sowas in der Vorlesung noch nicht hatten.
Ein kleiner Ansatz wäre ziemlich nett :)