Von Parametergleichung zu Koordinatengleichung (Ebene)

Question

Ich habe folgende Aufgabe 

Die Ebene E1 enthält folgende Punkte:  A:(1,0,1) B( 1, 1 ,-1)  C(0,-1,-1)

Geben Sie die Koordinatengleichung  von E1 an.

Das schreib ich dann zuerst als Parameterdarstellung:

E1 = (1,0,1) + λ₁(0,1,-2) + λ₂(0,-1,-1)

 

So jetzt kommt das wo ich mir nicht sicher bin.

Ich bilde danach das AXB also:

(0,1,-2) X (0,-1,-1) = (-3, 0, 0)

 

Danach mach ich [(x,y,z) -(1,0,1) ] *(-3, 0 , 0) = 0

Da komm ich dann auf  -3x + 3    0y + 0    0z + 0  also auf -3x + 3 = 0

ist dann -3x+3 = 0 die Koordinatengleichung?

Answer 1

 

zumindest das Endergebnis

-3x + 3 = 0 stimmt nicht, was Du leicht feststellst, wenn Du den Punkt C (0|-1|-1) einsetzt: 

-3 * 0 + 3 = 3 ≠ 0

 

Die Ebene E1 enthält folgende Punkte:  A:(1,0,1) B( 1, 1 ,-1)  C(0,-1,-1)

Parameterdarstellung

E1 = A + λ1 * (B-A) + λ2 * (C-A)

E1 = (1|0|1) + λ1 * (0|1|-2) + λ2 * (-1|-1|-2)

 

Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

0   -1

1   -1

-2  -2

 

1 * (-2) - (-2) * (-1) = -4

-2 * (-1) - 0 * (-2) = 2

0 * (-1) - 1 * (-1) = 1

 

Nun setzen wir in die erhaltene Gleichung -4x + 2y + z einen Punkt ein, zum Beispiel A(1|0|1):

-4 + 0 + 1 = -3

 

Wir erhalten insgesamt

-4x + 2y + z = -3

 

Probe:

A(1|0|1): -4 + 0 + 1 = -3

B(1|1|-1): -4 + 2 - 1 = -3

C(0|-1|-1): 0 - 2 - 1 = -3

 

Das Ergebnis ist also korrekt, meine "mathematische Schreibweise" leider nicht :-)

 

Besten Gruß

Comments

mist ich hab die Aufgabe falsch gestellt. Punkt C = 1, -1 ,0
Tut mir leid

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Kein Problem :-)

 

Die Ebene E1 enthält folgende Punkte:  A:(1,0,1) B( 1, 1 ,-1)  C(1,-1,0)

Parameterdarstellung

E1 = A + λ1 * (B-A) + λ2 * (C-A)

E1 = (1|0|1) + λ1 * (0|1|-2) + λ2 * (0|-1|-1)

 

Kreuzprodukt der Richtungsvektoren:

0    0

1   -1

-2   -1

 

1 * (-1) - (-2) * (-1) = -3

-2 * (0) - 0 * (-1) = 0

0 * (-1) - 1 * (0) = 0

 

A(1|0|1) eingesetzt in

-3x

ergibt

-3x = -3

x = 1

 

Die Probe kann man sich hier sparen, denn alle Punkte der Ebene haben die x-Koordinate 1 :-)

 

Sternchen?

:-D