Zur Berechnung der Lösungen einer quadratischen Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung gibt es ein recht einfaches "Kochrezept":
1) Bringe alle Terme, die die Variable enthalten, auf die linke und alle Terme, die die Variable nicht enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung
Aus einer Gleichung wie:
5 x 2 + 7 - 3 x = 3 x 2 + 5 x - 9
wird durch diesen Schritt:
5 x 2 - 3 x - 3 x 2 - 5 x = - 9 - 7
In deinem Beispiel ist das bereits geschehen, du brauchst diesen Schritt also nicht auszuführen.
2) Fasse die Potenzen auf der linken Seite zusammen und schreibe sie absteigend geordnet hin
Aus meinem Beispiel wird durch diesen Schritt:
2 x 2 - 8 x = - 16
In deinem Beispiel ist das ebenfalls bereits geschehen, du brauchst also auch diesen Schritt nicht auszuführen.
3) Dividiere die Gleichung durch den Faktor, der vor dem x 2 steht
Sollte vor dem x 2 kein Faktor stehen, dann brauchst du auch diesen Schritt nicht durchzuführen.
Aus meinem Beispiel wird durch diesen Schritt:
x 2 - 4 x = - 8
(Von hier an erläutere ich die Schritte nur noch an deinem Beispiel)
In deinem Beispiel
0,8 x 2 - 4,8 x = 3,2
musst du also durch 0,8 dividieren und erhältst:
x 2 - 6 x = 4
4) Dividiere den Faktor vor dem x durch 2 und quadriere das Ergebnis.
Die Zahl, die du erhältst, ist die "quadratische Ergänzung", ich nenne sie hier mal E. (Auf das Vorzeichen des Faktors brauchst du übrigens nicht zu achten, da beim Quadrieren ohnhin immer eine positive Zahl entsteht.)
In deinem Beispiel erhältst du:
E = ( 6 / 2 ) 2 = 3 2 = 9
5) Addiere die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens
Indem man die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten addiert, sorgt man dafür, dass die Lösungsmenge der Gleichung unverändert bleibt.
In deinem Beispiel erhältst du:
<=> x 2 - 6 x + 9 = 4 + 9
6) Schreibe die linke Seite der Gleichung als Quadrat und fasse die rechte Seite zusammen
Aufgrund der Berechnungsweise der quadratischen Ergänzung steht auf der linken Seite der Gleichung nun ein Term, den man mit Hilfe der ersten oder zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben kann.
In deinem Beispiel erhältst du:
<=> ( x - 3 ) 2 = 13
Tipp: Multipliziere das Quadrat aus, um zu prüfen, ob sich wieder der ursprüngliche Ausdruck x 2 - 6 x + 9 ergibt
7) Ziehe auf beiden Seiten die Quadratwurzel
Lass dazu auf der linken Seite einfach den Exponenten und die Klammern weg. Auf der rechten Seite setzt du die Zahl in Klammern, schreibst ein Wurzelzeichen davor und vor das Wurzelzeichen ein ± .
In deinem Beispiel erhältst du:
<=> x - 3 = ± √ ( 13 )
Hinweis: Sollte die Zahl unter der Wurzel negativ sein, dann ist die Gleichung nicht lösbar.
8) Löse die Gleichung nach x auf
In deinem Beispiel erhältst du:
<=> x = ± √ ( 13 ) + 3
bzw. ausgeschrieben:
x1 = - √ ( 13 ) + 3
x2 = + √ ( 13 ) + 3
Hinweis: Sollte unter der Wurzel die Zahl 0 stehen, dann sind beide Lösungen identisch, es gibt dann also nur eine Lösung.
9) Schreibe die Lösungsmenge hin
In deinem Beispiel erhältst du:
L = { - √ ( 13 ) + 3 , √ ( 13 ) + 3 } = { - 0,605551... , 6,605551... }
