Zeigen Sie, dass ein a ∈ ℝ existiert

Question

Sei f : ℝ → ℝ eine stetige Funktion mit
f(x + y) = f(x)f(y) für alle x, y∈ ℝ.
Zeigen Sie, dass ein a ∈ ℝ mit
f(x) = a^x für alle x ∈ ℝ
existiert.

Würde mich auf einen hilfreichen Ansatz freuen.

Answer 1

Wahrscheinlich steht in der Aufgabe auch noch $f \ne 0$ oder?

Setze $y = 0$ dann folgt $f(x) = f(x) f(0)$. Daraus folgt entweder $f = 0$ oder $f(0) = 1$ Wegen $f\ne 0$ folgt also $f(0) = 1$

Sei $a = f(1)$ dann folgt $f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1)^n = a^n$ für alle $n \in \mathbb{N}$ und wegen $f(1-1) = f(1) f(-1) = 1$ also $f(-1) = a^{-1}$  folgt $f(n) = a^n$ für alle $n \in \mathbb{Z}$

$$a^p = f(p) = f\left( \frac{p}{q} + ... + \frac{p}{q} \right) = f\left( \frac{p}{q} \right)^q$$ also $$f\left( \frac{p}{q} \right) = a^{\frac{p}{q} }$$

Weil $\mathbb{Q}$ dicht in $\mathbb{R}$ liegt und $f(\cdot)$ stetig ist, folgt $f(x) = a^x$

Comments

Also f≠0 steht leider nicht, aber man kann es dann so annehmen, weil ja log_a(0) nicht definiert ist.

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Wenn $f$ nicht $\ne 0$ angenommen wird, kommt man nicht auf $f(0) = 1$ und damit geht der ganze Beweis nicht mehr.

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Also dann nehme ich das mal so an.

Habe eine Frage, warum liegt Q dicht in R und wie kann ich dann daraus folgern dass dann f(x) = a^x gilt.

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Du kannst eine Folge $r_n = \frac{p_n}{q_n}$ aus $\mathbb{Q}$ nehmen die gegen $x \in \mathbb{R}$ konvergiert. Aus der Stetigkeit der Funktion $f(\cdot)$ folgt dann

$$f(x) = f \left( \lim_{n \to \infty} r_n \right ) = \lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{p_n}{q_n} \right) = \lim_{n \to \infty} a^{r_n} = \\ \lim_{n \to \infty} \exp ( r_n \ln(a) ) = \exp ( \lim_{n \to \infty} r_n \ln(a) ) = a^x$$