Zeigen Sie, dass ein a ∈ ℝ existiert

Question

Sei f : ℝ → ℝ eine stetige Funktion mit
f(x + y) = f(x)f(y) für alle x, y∈ ℝ.
Zeigen Sie, dass ein a ∈ ℝ mit
f(x) = a^x für alle x ∈ ℝ
existiert.

Würde mich auf einen hilfreichen Ansatz freuen.

Answer 1

Wahrscheinlich steht in der Aufgabe auch noch \( f \ne 0 \) oder?

Setze \( y = 0 \) dann folgt \( f(x) = f(x) f(0) \). Daraus folgt entweder \( f = 0 \) oder \( f(0) = 1 \) Wegen \( f\ne 0 \) folgt also \( f(0) = 1\)

Sei \( a = f(1) \) dann folgt \( f(n) = f(1 + ... + 1) = f(1)^n = a^n \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) und wegen \( f(1-1) = f(1) f(-1) = 1 \) also \( f(-1) = a^{-1} \)  folgt \( f(n) = a^n \) für alle \( n \in \mathbb{Z} \)

$$ a^p = f(p) = f\left( \frac{p}{q} + ... + \frac{p}{q} \right) = f\left( \frac{p}{q} \right)^q $$ also $$ f\left( \frac{p}{q} \right) = a^{\frac{p}{q} }  $$

Weil \( \mathbb{Q} \) dicht in \( \mathbb{R} \) liegt und \( f(\cdot)\) stetig ist, folgt \( f(x) = a^x \)

Comments

Also f≠0 steht leider nicht, aber man kann es dann so annehmen, weil ja log_a(0) nicht definiert ist.

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Wenn \( f \) nicht \( \ne 0 \) angenommen wird, kommt man nicht auf \( f(0) = 1\) und damit geht der ganze Beweis nicht mehr.

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Also dann nehme ich das mal so an.

Habe eine Frage, warum liegt Q dicht in R und wie kann ich dann daraus folgern dass dann f(x) = a^x gilt.

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Du kannst eine Folge \( r_n = \frac{p_n}{q_n} \) aus \( \mathbb{Q} \) nehmen die gegen \( x \in \mathbb{R} \) konvergiert. Aus der Stetigkeit der Funktion \( f(\cdot) \) folgt dann

$$ f(x) = f \left( \lim_{n \to \infty} r_n \right ) = \lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} f\left( \frac{p_n}{q_n} \right)  =  \lim_{n \to \infty} a^{r_n} = \\ \lim_{n \to \infty} \exp ( r_n \ln(a) ) = \exp ( \lim_{n \to \infty} r_n \ln(a) ) = a^x $$