Beweisen Sie, dass T_{a, b} linear ist genau dann, wenn a=b=0

Question

(a) Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( T_{a, b}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch
\(T_{a, b}(p)=\left(3 p(4)+5 p^{\prime}(6)+a p(1) p(2), \int \limits_{-1}^{2} x^{3} p(x) \mathrm{d} x+b \sin (p(0))\right) .\)

Beweisen Sie, dass \( T_{a, b} \) linear ist genau dann, wenn \( a=b=0 \).
(Hinweis: Betrachten Sie die durch die Terme \( -1 \) und 1 definierten Polynome.)

(b) Entscheiden Sie jeweils begründet, ob es sich um lineare Abbildungen handelt:
i) \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto(x, 0, x) \)
ii) \( f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}), a \mapsto a x+1 \)

Answer 1

https://www.mathelounge.de/897784/entscheiden-jeweils-begrundet-lineare-abbildungen-handelt?show=897899#a897899

Wurde hier bereits angesprochen.

Für die Überprüfung von Linearität musst du folgendes überprüfen:

Ist eine Abbildung f Linear, so gilt:

f(λv+v‘) = λf(v) + f(v‘)

Dies musst du also in b) für die jeweiligen Abbildungen überprüfen, ist die Eigenschaft erfüllt, so handelt es sich um eine lineare Abbildung.