Zeigen Sie: f ist stetig.

Question

Betrachten Sie die Funktion $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & \text { falls } x<e, \\ 1 & \text { falls } x>e . \end{array}\right.$
Zeigen Sie, dass $f$ stetig ist.

Kann mir bitte jemand sagen, wie kann ich die Aufgabe lösen?

Answer 1

1. Fall: Sei a∈Q mit a<e. Zu zeigen: Für jedes ε>0 gibt es ein δ>0 mit

                   | x-a | <δ ==>  | f(x) - f(a) | < ε.

Sei also ε>0. Wähle δ = e-a (Das ist wegen a<e positiv.)

Sei nun x∈ℚ mit       | x-a | <δ also     x-a <  e-a

                                                 ==>   x < e

                 ==>  f(x)=0  und wegen   a<e auch f(a)=0

                 ==>         | f(x) - f(a) | = | 0 | = 0 < ε.

2. Fall a>e entsprechend.

Answer 2

Alternativ ein topologischer Beweis:

eine Funktion ist stetig, wenn die Urbilder offener Mengen offen sind.

Sei $U\subseteq\mathbb{R}$ offen.

1. Fall: $0\in U$ und $1\notin U$. Dann ist $f^{-1}(U)=(-\infty,e)\cap\mathbb{Q}$ offen.

2. Fall: $1\in U$ und $0\notin U$. Dann ist $f^{-1}(U)=(e,\infty)\cap\mathbb{Q}$ offen.

3. Fall: $0\in U$ und $1\in U$. Dann ist $f^{-1}(U)=\mathbb{Q}$, also der ganze Raum und

somit offen.