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Moin,

Ich habe eine Frage, bezüglich dieser Aufgabe. Könnte mir jemand erklären wie man vom oberen auf die 2. Zeile kommt? Weil wenn ich das (wie üblich bei diesen potenze) mit dem paslcalschen Dreieck löse, komme ich nie auf diese Zahlen.

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Text erkannt:

\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+h\right)^{4}-x_{0}^{4}}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}^{4}+2 x_{0}^{3} h+x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0}^{3} h+4 x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0} h^{3}+x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0} h^{3}+h^{4}-x_{0}^{4}}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 x_{0}^{3} h+6 x_{0} h^{2}+4 x_{0} h^{3}+h^{4}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(4 x_{0}^{3}+6 x_{0} h+4 x_{0} h^{2}+h^{3}\right)}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} 4 x_{0}^{3}+6 x_{0} h+4 x_{0} h^{2}+h^{3}=4 x_{0}^{3} \)

Danke für antworten schonmal ;)

Text erkannt:

\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\left(x_{0}+h\right)^{4}-x_{0}^{4}}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{x_{0}^{4}+2 x_{0}^{3} h+x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0}^{3} h+4 x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0} h^{3}+x_{0}^{2} h^{2}+2 x_{0} h^{3}+h^{4}-x_{0}^{4}}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{4 x_{0}^{3} h+6 x_{0} h^{2}+4 x_{0} h^{3}+h^{4}}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h\left(4 x_{0}^{3}+6 x_{0} h+4 x_{0} h^{2}+h^{3}\right)}{h} \)
\( =\lim \limits_{h \rightarrow 0} 4 x_{0}^{3}+6 x_{0} h+4 x_{0} h^{2}+h^{3}=4 x_{0}^{3} \)

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Die zweite Zeile ergibt sich indem du (x0+h)4 = (x0+h)2 (x0+h)2 mittels Binomischer Formel  ausmultiplizierst.

Rechne dir das mal auf nem Schmierblatt aus, damit kommst du direkt auf die 2. Zeile.

von
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wie man vom oberen auf die 2. Zeile kommt?

Ausmulitiplizieren

mit dem paslcalschen Dreieck

Damit kommst du direkt zur dritten Zeile, außer das dort schon das anfängliche \(x_0^4\) mit dem \(-x_0^4\) am Ende verrechnet wurde.

von 91 k 🚀

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