Berechnen Sie die Eigenwerte von A und deren algebraische Vielfachheiten.

Question

Gegeben sei die Matrix
$A=\left(\begin{array}{rrr} 15 & 0 & 12 \\ 8 & -1 & 6 \\ -20 & 0 & -16 \end{array}\right)$
(a) Berechnen Sie die Eigenwerte von $A$ und deren algebraische Vielfachheiten.
(b) Bestimmen Sie die Eigenräume zu allen Eigenwerten und geben Sie jeweils deren geometrischen Vielfachheiten an.
(c) Ist die Matrix $A$ invertierbar?

Comments

Hallo,

was ist Dein Problem? Weißt Du nicht, wie ein Eigenwert definiert ist? Ist Dir der Begriff "charakteristisches Polynom" bekannt?

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Gegeben ist uns folgende Matrix$$A=\left(\begin{array}{rrr}15 & 0 & 12\\8 & -1 & 6\\-20 & 0 & -16\end{array}\right)$$

zu a) Bestimmung der Eigenwerte

Hier braucht man fast gar nichts zu rechnen. Die mittlere Spalte ist einfach zu auffälig. Es ist sofort klar, dass der Vektor $(0|1|0)$ ein Eigenvektor zum Eigenwert $(-1)$ ist, denn:$$\left(\begin{array}{rrr}15 & 0 & 12\\8 & -1 & 6\\-20 & 0 & -16\end{array}\right)\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}=(-1)\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Damit haben wir den ersten Eigenwert $\lambda_1=-1$ gefunden. Weiter wissen wir, dass die Summe aller Eigenwerte gleich der Summe der Hauptdiagonalen ist und, dass das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante ist:$$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=\operatorname{diag}(A)\quad;\quad\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=\operatorname{det}(A)$$Die Summe ist $(-2)$ und die Determinante nach der mittleren Spalte entwickelt ist $0$. Da weiter $\lambda_1=-1$ ist, muss für die beiden anderen Eigenwerte gelten:$$\lambda_2+\lambda_3=-1\quad;\quad\lambda_2\cdot\lambda_3=0$$Einer der beiden weiteren Eigenwerte muss wegen des Satzes vom Nullprodukt also $=0$ sein, sodass für den letzten nur noch $(-1)$ übrig bleibt. Damit lauten die Eigenwerte:$$\lambda_1=-1\quad;\quad\lambda_2=-1\quad;\quad\lambda_3=0$$Die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $(-1)$ ist offensichtlich gleich $2$, die des Eigenwertes $0$ ist gleich $1$.

zu b) Bestimmung der Eigenvektoren

Einen Eigenvektor zum Eigenwert $(-1)$ haben wir schon, mal schauen, ob wir noch einen finden:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline15-(-1) & 0 & 12 & 0\\8 & -1-(-1) & 6 & 0\\-20 & 0 & -16-(-1) & 0\\\hline16 & 0 & 12 & 0 &\colon4\\8 & 0 & 6 & 0 & \colon2\\-20 & 0 & -15 & 0 &\colon(-5)\\\hline4 & 0 & 3 & 0 & \\ 4 & 0 & 3 & 0 &\\4 & 0 & 3 & 0 &\end{array}$$Wir erhalten als Bestimmungsgleichung $4x+3z=0$ bzw. $z=-\frac43x$ und daraus alle Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac43x\end{pmatrix}=-\frac x3\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$$Neben dem Eigenvektor $(0|1|0)$, den wir schon kannten, finden wir also noch den Eigenvektor $(-3|0|4)$ zum Eigenwert $(-1)$. Damit ist auch die geometrische Vielfachheit des Eigenwertes $(-1)$ gleich $2$.

Den Eigenvektor zum Eigenwert $0$, also den Kern der Matrix, finden wir analog:$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = &\text{Aktion}\\\hline15-(0) & 0 & 12 & 0\\8 & -1-0 & 6 & 0\\-20 & 0 & -16-0 & 0\\\hline15 & 0 & 12 & 0 &\colon3\\8 & -1 & 6 & 0 & \\-20 & 0 & -16 & 0 &\colon(-4)\\\hline5 & 0 & 4 & 0 &\colon5\\8 & -1 & 6 & 0 &-\frac32Z_1 \\5 & 0 & 4 & 0 &-Z_1\\\hline1 & 0 & 0,8 & 0 &\\0,5 & -1 & 0 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Wir erhalten zwei Gleichungen:$$x+0,8z=0\quad;\quad0,5x-y=0\quad\text{bzw.}\quad z=-\frac54x\quad;\quad y=\frac12x$$Also sind die Lösungen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\\frac12x\\-\frac54x\end{pmatrix}=\frac x4\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}$$Also ist ein Eigenvektor zum Eigenwert $0$ gleich $(4|2|-5)$, sodass der Eigenwert $0$ die geometrische Vielfachheit $1$ besitzt.

zu c) Die Matrix ist nicht invertierbar, weil ihre Determinante $=0$ ist.