Ebene angeben die Punkt und Gerade enthält

Question

Aufgabe:

Ich soll eine Ebene in Koordinatenform angeben die die Gerade g(t) und den Punkt P enthält.

Gegeben sind der Punkt \( \underline{P}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) \) und die Gerade \( g(t)= \) \( \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \)

a) Zeigen Sie: \( \underline{P} \notin \underline{g}(t) \).

b) Geben Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene an, die \( \underline{P} \) und \( \underline{g}(t) \) enthält

Problem/Ansatz:

Das Problem ist:

Die erste Teilaufgabe, sagt mir das ich nachweisen soll, das der Punkt P kein Element von g(t) ist.

Wie kann es dann sein das ich eine Ebene habe, die den Punkt P und die Gerade g(t) enthält?

Ich hab da jetzt echt lang dran gehockt und komme einfach nicht drauf.

Bei mir liegt lediglich der Punkt P in der Eben und die Gerade g(t) ist parallel zu E aber das sie in ihr liegt, bitte sagt mir, das ich da richtig liege und das nicht geht.

Answer 1

Aloha :)

zu a) Hier sollst du zeigen, dass der Punkt \(P(2|0|4)\) nicht auf der Geraden \(g\) liegt, wobei$$g\colon\vec x_g=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}$$Da die \(x_2\)-Koordinate des Punktes \(P\) gleich \(0\) ist, suchen wir die Punkte auf der Geraden, deren \(x_2\)-Koordinate ebenfalls \(0\) ist. Dafür muss \(t=-1\) sein. Das liefert auf der Geraden den Punkt \(P_g(3|0|3)\). Offensichtlich sind \(P\) und \(P_g\) unterschiedlich, sodass der Punkt \(P\) nicht auf der Geraden liegt.

zu b) Die Gerade \(g\) und der Punkt \(P\) bilden eine Ebene. Das kannst du dir wie bei einem Geodreick vorstellen, bei dem die lange Seite die Gerade \(g\) ist und die Spitze der Punkt \(P\) ist. Du sollst nun die Gleichung der Ebene in Koordinatenform angeben, die den Punkt \(P\) und die Gerade \(g\) enthält.

Der Richtungsvektor der Geraden ist der erste Richtungsvektor der Ebene. Einen zweiten Richtungsvektor erhalten wir, wenn wir vom Ankerpunkt \(A(1|2|4)\) der Geraden zum Punkt \(P(2|0|4)\) laufen:$$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a=\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$$Damit haben wir zunächst die Ebenengleichung in Parameterform:$$E\colon\vec x_E=\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}$$

Diese müsen wir nun in die Koordinatenform umwandeln. Dazu brauchen wir einen Normalenvektor:$$\vec n=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\-2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+2\\1-0\\4-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$$und erhalten daraus die gesuchte Koordinatendarstellung:$$\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\vec a\implies\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\2\\4\end{pmatrix}\implies$$$$E\colon2x+y+2z=12$$

Comments

Zur a) Genau, das habe ich auch so, der Punkt P, liegt nicht auf der Geraden.

Aber wie kann es sein, das der Punkt P nicht auf der Geraden liegt aber dafür auf der Ebene aber gleichzeitig, liegt die Gerade in der Ebene.

Weil ich habe als bei der b) als Aufpunkt, den Punkt P gewählt.

Wieso wählst du da den Aufpunkt der Geraden?

Und was genau hat das mit dem Punkt P_g auf sich also P(3,03).

Und was genau ist ein Ankerpunkt? Was macht man da genau?

Und wie gesagt, wie kann es sein, das ein Punkt auf der Ebene liegt aber nicht auf der Geraden und Gleichzeitig liegt der Punkt auf der Geraden und der Ebene, das verwirrt mich so dermaßen.

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Hey Tschakabumba, bemühe dich nicht grundlos. Ich habe es in Geogebra 3D eingegeben und erkenne jetzt meinen Denkfehler, da ich die ganze Zeit mit Ebenen zu tun habe, habe ich mir die Gerade die ganze Zeit Bildlich als Ebene vorgestellt und ja jetzt habe ich es verstanden.

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Hallo,

anbei zum Verständnis diese Szene im Geoknecht3D:

Klick auf das Bild. Dann öffnet sich Geoknecht3D und wenn Du dann die Szene mit der Maus rotierst, bekommst Du einen räumlichen Eindruck.

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Vielen Dank dafür.