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Wie gehe ich mit den folgenden Problemen um:


Ich habe einen Punkt und eine Gerade gegeben und suche den Abstand des Punktes und der Gerade.


Ich habe einen Punkt und eine Ebene gegeben und suche den Abstand des Punktes und der Ebene.


Könnte mir jemand erklären, wie ich das am besten lösen kann?

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Ich habe einen Punkt und eine Gerade gegeben und suche den Abstand des Punktes und der Gerade.


Hier kannst du das Kreuzprodukt verwenden. 

Ich habe einen Punkt und eine Ebene gegeben und suche den Abstand des Punktes und der Ebene.


Hier kannst du das Spatprodukt und das Vektorprodukt einsetzen.

Vorgerechnete Beispiele findest du in jedem Vektorgeometriebuch, das die beiden Produkte behandelt unter den ersten Anwendungsbeispielen. Alternativ vermutlich auch bei den "ähnlichen Fragen" unten.

Avatar von 162 k 🚀
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Dafür gibt es Formeln, die du in jeder Formelsammlung findest. Auch bei Google unter den Suchworten "Abstand Punkt Gerade" oder "Abstand Punkt Ebene"..

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hier findest du alles über solche Abstandsberechnungen :

https://www.studyhelp.de/mathe/analytische-geometrie-lineare-algebra/abstand-punkt-gerade/

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
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  Ich will nicht immer alles 4 711 Mal sagen und bei Adam und Eva beginnen. Ich seh grad; das bist ja wieder du ...

   Solltest du nur die Parameterform ( PF ) der Ebene haben und suchst die Koordinatenform ( KF )   Das geht mittels einer Determinante, die ich dir hier erkläre:

https://www.mathelounge.de/530594/kreuzprodukt-was-sind-die-vorteile

    Ein konkretes Anwendungsbeispiel findest du hier:

https://www.mathelounge.de/530640/koordinatengleichung-einer-ebene


    So; erst mal das. Wie findest du den Abstand eines Punktes 


        P0  :=  (  x0  |  y0  |  z0  )      (  3.1  )


     von einer Ebene E?  Wenn du die KF gegeben hast, gehst du im Prinzip über die ===> Taylorentwicklung.   Die Ebene sei


  E ( x , y , z ) = a x + b y + c z = k0 = const      (  3.2  )


    Wir denken uns die Chose jetzt äußerst Trick reich so, dass P0 auf einer Ebene E ' liegen möge, die parallel E verläuft.


       E  ( P0 ) =  a x0 + b y0 + c z0 = k1        ( 3.3 )


     k1 kannst du berechnen, das sollte jetzt kein Problem sein. es ist ja alles bekannt.  Sei nun s ein Vektor, dessen Schwanz in P0 liegt und die Pfeilspitze bis ebene E langt  in ( 3.2 ) 

   Taylor denkt sich die Sache praktisch so, dass E nicht eine Ebene ist, sondern eine Funktion ( von x , y und z )  die in P0 den Wert k1 annimmt.  Wir fragen uns also: Wie lang muss der Vektor s sein, damit wir von k1 nach k0 kommen?


      <  grad  (  E  )  |  s  >  =  k1  -  k0      (  3.4  )


    Dabei bedeuten die spitzen Klammern das Skalarprodukt; eine Notation, die Paule Adrien Marie Dirac eingeführt hat.

   Wer Einstein war, pfeife die Buwe uff die Gass; E = m c ² ist die bekannteste Gleichung.

   Auch Antimaterie kennt jeder.

   Aber niemand sagt dir, dass Dirac sie am Schreibtisch ausgerechnet hat

   " Wie spricht man den aus? "

   Von eriner Diracschule hab ich noch nie gehört ...

   Vielleicht kennst du den Gradienten ja schon von Erdkäs. Der Gradientenvektor steht immer senkrecht auf einem Höhenlinien(oderFlächen) Profil.

  Die ===> Äquipotenzialflächen des irdischen Schwerefeldes sind Flächen gleicher potenzieller Energie; annähernd Kugeln.

   Und der Gradient gibt immer die Richtung des steilsten Anstiegs; weist also in die Richtung der Erdanziehung.

   Kannst du schon Differenzialrechnung? Der Gradient deiner parallelen  Ebenenschar ( 3.2 ) ergibt sich einfach aus den Koeffizienten


    grad  (  E  )  =  (  a  |  b  |  c  )      (  3.5  )


   Ich sagte dir schon; der Gradient steht senkrecht auf der Ebenenschar.  Wenn jetzt s lotrecht auf E steht, also du hast keinen Winkel zwischen s und dem Gradientenvektor - dann wird der Kosinus in dem Skalarprodukt ( 3.4 ) gleich Eins.


     |  s  |  |  grad  (  E  )  |  =  k1  -  k0       (  3.6a  )


     mit Pythagoras


     |  grad  (  E  )  |  ²  =  a  ²  +  b  ²  +  c  ²       (  3.6b  )


   Der Betrag von s in ( 3.6a ) ist der gesuchte Abstand; ein System von Gleichungen, die du sukzessive durch Einsetzen lösen kannst. Tolles Kochrezept.

   Also nur nicht Kopf scheu werden; es ist alles ganz einfach.

  Erheblich komplitückischer gestaltet sich schon der Abstand eines Punktes Q0 von einer Geraden g .  Die Gerade sei uns gegeben in Parameterform


   g  (  k  )  :=  P0  +  k  t0     (  3.7  )


     mit Richtungsvektor t0 . Du musst jetzt einfach die Bedingung notieren, dass du von Q0 aus senkrecht auf t 0 blickst; das gibt ja den kürzesten Abstand.  Und Senkrecht stehen heißt immer: Skalarprodukt Null.


      <  t0  |  g  -  Q0  >  =  0      (  3.8a  )

      <  t0  |  P0  -  Q0  +  k  t0  >  =  0     (  3.8b  )

    k  |  t0  |  ²  =  <  Q0  -  P0  |  t0  >    (  3.8c  )


     Wenn also jetzt noch Unklarheiten sein sollten, dann melde dich unter Bezug auf diese Ausführungen.

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