Stetigkeitsbeweis |f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|a

Question

Hallo, ich komme gerade bei einer Aufgabe einfach nicht weiter:

Sei D ∈ R. Sei f : D ∈ R eine Funktion. Nehmen Sie an, dass es Konstanten C, a ∈ R+ gibt derart, dass

|f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|^a für alle x, y ∈ D gilt. Beweisen Sie, dass die Funktion f stetig ist.

Wahrscheinlich muss ich hier irgendwie auf das Epsilon-Delta-Kriterium kommen, oder? Also zeigen das gilt:
∀ y ∈ D : ∀ϵ > 0 : ∃δ > 0 : ∀ x ∈ D : |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ϵ.

Wie komme ich jetzt darauf, dass |x-y| nach oben beschränkt werden kann, mit einer Konstante, die nicht von x abhängt?

Comments

Nutze, dass $x\mapsto C|x|^a$ stetig ist.

---

Danke für den schnellen Tipp.

Kann ich dann Verwenden, dass $x\mapsto C|x|^a$ das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt? Dann würde ja gelten:

|x - y| < δ ⇒ |C |x|^a - C |y|^a| < ϵ $\Leftrightarrow$ C ||x|^a - |y|^a | < ϵ.

Wie komme ich jetzt von da weiter auf C |x - y|^a ? Mit der Dreiecksungleichung würde ja dann weiter C ||x|^a - |y|^a| $\leq$ C |x^a - y^a| folgen, oder? Aber wie passt das dann mit dem Epsilon? Denke ich da gerade überhaupt in die richtige Richtung?

---

Dich interessiert nur die Stetigkeit von $C|x|^a$ an der Stelle 0,

d.h. zu $\epsilon > 0$ gibt es $\delta >0$, so dass

$|z|\lt \delta\Rightarrow C|z|^a \lt \epsilon$.

Nun setze $z=x-y$ ein ...

---

Okay, wenn ich dann $z=x-y$ setze, dann erhalte ich $C|x - y|^a \lt \epsilon$ und da $|f(x) - f(y)| ≤ C |x - y|^a$ gilt, folgt dann auch $|f(x) - f(y)| < \epsilon$ ?

---

Warum sollte es nicht folgen ? ;-)

---

sorry, das Fragezeichen war eher als Frage, ob das jetzt alles so passt gemeint und nicht, ob diese eine Schlussfolgerung gilt :)

---

Ja, so passt alles gut zusammen.

Answer 1

Hallo,

sei $y \in D$ und $\varepsilon > 0$. Setze $\delta =\sqrt[a]{\frac{\varepsilon}{C}} > 0.$ Dann gilt für alle  $x \in D$ mit $|x - y| < \delta$

$|f(x) - f(y)| \leq C \cdot |x - y|^{a} < C \cdot \delta^{a} = \varepsilon$