Kurven modellieren Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:

Ich brauche eine Hilfe bitte :)

Die Aufgabe lautet:

Eine Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Koordinatenursprung und hat dort den Anstieg -4. Im Punkt P(2|-8)

ist ein lokales Minimum.

Ich habe bis jetzt:

f(x):= ax³+bx²+cx+d

f(-4)=0

Problem/Ansatz:

Ich verstehe diese mit lokales Minimum nicht ganz?

Heißt es :

f'(2)=0 oder f'(2)=-8

Answer 1

Hallo,

ein Minimum in dem Punkt bedeutet

$f(2)=-8\\ f'(2)=0$

Gruß, Silvia

Answer 2

Aloha :)

Die Gesuchte ist eine Polynomfunktion 3-ten Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$Sie geht durch den Koordinatenursprung:$$0\stackrel!=f(0)=a\cdot0+b\cdot0+c\cdot0+d=0\implies d=0$$Im Urpsrung hat sie den Anstieg $(-4)$:$$-4\stackrel!=f'(0)=3a\cdot0+2b\cdot0+c\implies c=-4$$Der Punkt $(2|-8)$ liegt auf ihrem Graphen. Mit $c=-4$ und $d=0$ heißt das:$$-8\stackrel!=f(2)=a\cdot8+b\cdot4-4\cdot2=8a+4b-8\implies8a+4b=0\implies2a+b=0$$Im Punkt $(2|-8)$ hat die Gesuchte ein lokales Minimum. Mit $c=-4$ heißt das:$$0\stackrel!=f'(2)=3a\cdot4+2b\cdot2-4=12a+4b-4\implies12a+4b=4\implies 3a+b=1$$Wegen $2a+b=0$ und $3a+b=1$ folgt sofort:$$1=3a+b=a+(2a+b)=a+0\implies a=1$$Schließlich folgt aus $2a+b=0$ und $a=1$:$$b=-2a=-2\cdot1=-2$$Damit haben wir die Gesuchte gefunden:$$f(x)=x^3-2x^2-4x$$

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f₁(x) = x³-2x²-4xP(0|0)P(2|-8)f₂(x) = -4xZoom: x(-4…5) y(-9…4)

Comments

Danke dir, sehr hilfreich :)

Answer 3

"Eine Polynomfunktion 3. Grades geht durch den Koordinatenursprung U(0|0)und hat dort den Anstieg -4. Im Punkt T(2|-8) ist ein lokales Minimum."

Lösungsmöglichkeit (Problem/Ansatz ist schon beantwortet.):

Ich verschiebe den Graphen um 8 Einheiten nach oben:

T´(2|0)  lokales Minimum

f(x)=a*(x-2)²*(x-N)

U´(0|8)

f(0)=a*(0-2)^2*(0-N)      1.) -4aN=8     a=-$\frac{2}{N}$

f(x)=-$\frac{2}{N}$*[(x-2)^2*(x-N)]

Anstieg in  U´   m=-4

f´(x)=-$\frac{2}{N}$*[(2x-4)*(x-N)+(x-2)^2]

f´(0)=-$\frac{2}{N}$*[(-4)*(-N)+4]

-$\frac{2}{N}$*[(-4)*(-N)+4]=-4       N=-2     a=1

f(x)=[(x-2)²*(x-(-2)]= (x-2)²*(x+2)

Wieder 8 Einheiten nach unten verschieben:

p(x)= (x-2)²*(x+2)-8