Zeige: Im Allgemeinen gilt nicht Re(z · w) = Re(z) · Re(w)

Question

Aufgabe:

Zeige: Im Allgemeinen gilt nicht Re(z · w) = Re(z) · Re(w)

Answer 1

Hallo :-)

Es ist zb für $z=w=i\in \mathbb{C}$

$$\text{Re}(z\cdot w)=\text{Re}(i\cdot i)=\text{Re}(i^2)=\text{Re}(-1)=-1 \neq 0=0\cdot 0=\text{Re}(i)\cdot \text{Re}(i)=\text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)$$

Comments

Hallo ,

vielen lieben dank für deine antwort können sie mir noch mehr darüber bechreiben warum Re(z · w) = Re(z) · Re(w) nicht im Allgemeine glit ?

---

Warum es nicht im Allgemeinen gilt, siehst am obigen Gegenbeispiel. Du kannst dir das auch gerne mal allgemeiner hinschreiben:

$z=a+i\cdot b,\quad w=c+i\cdot d, \quad a,b,c,d\in \mathbb{R}$. Dann ist:

$$z\cdot w=a\cdot c-b\cdot d+i\cdot (a\cdot d+b\cdot c) \quad \Rightarrow \quad \text{Re}(z\cdot w)=a\cdot c-b\cdot d$$

$$\text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)=a\cdot c$$

Und jetzt suchst du Werte $a,b,c,d\in \mathbb{R}$, sodass die Gleichheit

$$\text{Re}(z\cdot w)=a\cdot c-b\cdot d=a\cdot c=\text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)$$

nicht erfüllt ist. Es ist $a\cdot c-b\cdot d=a\cdot c$, bzw. $b\cdot d=0$. Wähle also $b,d\in \mathbb{R}$, sodass $b\cdot d\neq 0$ gilt. Damit ist $\text{Re}(z\cdot w)\neq \text{Re}(z)\cdot \text{Re}(w)$.