Bestimmen Sie für beliebiges k ∈ ℝ den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n ∈ ℕ} (Hinweis: Fallunterscheidung in vier Fälle)

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bestimmen Sie für beliebiges \( k \in \mathbb{R} \) den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben mit
\( a_{n}=k^{n+1} \exp (-n) \)
Hinweis: Fallunterscheidung in vier Fälle.

Comments

\(a_{n}=k^{n+1} \exp (-n) \)

Das kannst du durchaus als \(a_{n}=k\cdot(\frac{k}{e})^n \) schreiben.

Answer 1

4 Fälle sind k=e -e<k<e k>e k<=-e

Comments

Danke für die Hilfe, wäre es möglich wenn du noch deinen Rechenweg erläutern könntest ?

Mfg,

Chris

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Wie ich auf die 4 Fälle gekommen bin oder die Rechnung auf Konvergenz? :)

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Die vier Fälle

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Naja ich habe mir erst angeschaut, was passiert für k>= 0. Dann kann ich ich k^(n+1) umschreiben als e^[(n+1) lnk] naja und nach Rechenregel habe ich als gesamten Ausdruck an= e^[n(lnk - 1) - lnk]

Dann sieht man aber gut für k=e ist an=1/e

Man sieht auch für k>e geht das divergiert die Folge gegen unendlich und dann ist klar für k<e geht sie gegen 0, weil der Ausdruck in der Klammer negativ ist

Naja und dann habe ich das gleiche für k<= 0 angeschaut, da kannst du das zwar nicht für k=0 so in exponentialschreibweise umwandeln, aber da sieht man ja dann dass das auch 0 ist und geht auch wieder bis zu - e<k gegen 0, deswegen kann man den gesamten Fall für - e<k<e nehmen, naja und dann fehlt nur noch k=<-e

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Sollte an nicht in allen Fällen gegen ∞ gehen. Weil e^-x ja auch für grosse x gegen +∞ geht. Und unendlich mal k^n+1 sollte doch immer unendlich ergeben, selbst wenn k<e ist  und k z.B. 2 beträgt.