Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge an mit n ∈ ℕ eine Cauchyfolge ist.

Question

a) Zeigen Sie, dass eine Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$, zu welcher reelle Zahlen $M \geq 0$ und $\gamma \in(0,1)$ derart existieren, dass für alle $n \in \mathbb{N}$

$\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq M \gamma^{n}$

gilt, eine CAUCHYfolge ist.

Gilt die Aussage auch, wenn Sie nur

$\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+1}-a_{n}\right|=0$

annehmen? Begründen Sie Ihre Antwort.

Folgern Sie, dass es genügt zu wissen, dass für alle $n \geq 1$

$\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq \gamma\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$

gilt, damit $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ eine CAUCHYfolge ist.

b) Nutzen Sie diese Aussage von Teil a), um zu zeigen dass die rekursiv durch $a_{0}=1$ und

$a_{n+1}=1+\frac{1}{1+a_{n}} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}$

definierte Folge $\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ konvergiert.

Hinweis zu a): Zeigen Sie zunächst, dass eine reelle Zahlenfolge $\left(a_{n}\right)_{n \in N}$ genau dann eine CAUCHYfolge ist, wenn es zu jedem $\varepsilon>0$ ein $N \in \mathbb{N}$ derart gibt, dass für alle $n \geq N$ und alle $m \in \mathbb{N}$

$\left|a_{n+m}-a_{n}\right|<\varepsilon$

gilt (dies ist eine alternative Definition einer CAUCHYfolge).