Aufgabe:
Gegeben sei die Basis \( B: \quad b_{1}:=\left(\begin{array}{c}-2 \\ -2 \\ -1\end{array}\right), b_{2}:=\left(\begin{array}{c}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right), b_{3}:=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), b_{4}:=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1 \\ -1\end{array}\right) \) won \( \mathbb{R}^{4} \).
Die lineare Abbildung \( \varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) sei gegeben durch die Bilder der Standardbasis \( E: \) e \( _{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4} \) :
\( \varphi\left(\mathrm{e}_{1}\right)=2 \mathrm{e}_{2}-\mathrm{e}_{3}-2 \mathrm{e}_{4} \quad, \quad \varphi\left(\mathrm{e}_{2}\right) \quad=-\frac{3}{2} \mathrm{e}_{1}-3 \mathrm{e}_{2}+\frac{1}{2} \mathrm{e}_{3}+\frac{3}{2} \mathrm{e}_{4} \)
\( \varphi\left(\mathrm{e}_{3}\right)=3 \mathrm{e}_{1}+2 \mathrm{e}_{2}+\mathrm{e}_{3}+\mathrm{e}_{4} \quad, \quad \varphi\left(\mathrm{e}_{4}\right) \quad=-5 \mathrm{e}_{1}-4 \mathrm{e}_{2}-2 \mathrm{e}_{3}-\mathrm{e}_{4} \)
(a) Bestimmen Sie \( { }_{E} \varphi_{E} \) und \( { }_{E} \) id \( _{B} \)
(b) Bestimmen Sie \( { }_{B} \mathrm{id}_{E} \) und \( { }_{B} \varphi_{B} . \) Ist \( \varphi \) injektiv?
Problem/Ansatz:
E∂E=
| 0 | -3/2 | 3 | -5 |
| 2 | -3 | 2 | -4 |
| -1 | 1/2 | 1 | -2 |
| 2 | 3/2 | 1 | 1 |
EidB =
BidE=
| -1 | 1 | -1 | 2 |
| -1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | -1/2 | -1 | 1 |
| 0 | 1/2 | -1 | 1 |
B∂B = ? Wie gehe ich da vor? Dazu fehlt doch eine Abbildungsvorschrift in der ich die B einsetzte?
ist es injektiv?
