Darstellungsmatrizen im Dualraum

Question

Aufgabe:

Es sei V = R³ mit der Basis:

s1= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) ; s2 = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) ; s3= \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Es sei (s1*, s2*, s3*)die zu V* duale Basis.

Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen M^S_C(s_j* ) für j=1,2,3

Dabei ist der Zielraum R mit der Standardbasis C={1}

Bestimmen Sie außerdem Die Darstellungsmatrizen M^B_C(s_j* ) wenn B die Standardbasis vom R³ ist

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht genau wonach in der Aufgabe genau gefragt ist. Ich könnte die dualen Basisvektoren sj* berechnen, aber was genau ist mit den Darstellungsmatrizen gemeint?

So wie ich das verstehe ist M^S_C(sj*), eine Matrix, mit der ein dualer Basis"vektor" zur Basis s multipliziert wird und dann den dualen Basisvektor zur Basis C ausspuckt. Da stellen sich mir nun viele Fragen: Wie kann man einen dualen Basis"vektor" bzgl. einer anderen Basis darstellen wenn die Elemente der dualen Basis Abbildungen (Matrizen) sind und die der anderen Basis Vektoren!?

Oder verstehe ich die gesamte Aufgabe falsch?

Würde mich über Hilfe freuen :)

Danke schonmal im Voraus

Answer 1

Es ist doch z.B.    \( s_1^* : V \rightarrow ℝ mit \begin{pmatrix} x\\y\\z  \end{pmatrix}\rightarrow x+y+z\)

Also ist die Matrix \( \begin{pmatrix} 1&1&1  \end{pmatrix} \) wenn B die

Standardbasis von R^3 ist. etc.

Comments

hm wäre nicht die Matrix für s1* = (0 0 1) ich dachte die duale Basis sj* muss sj auf die 1 abbilden und alle restlichen s mit anderem Index auf die 0?