Wahrscheinlichkeitsrechnung: Kugeln ziehen

Question

In einem Behälter liegen 5 gelbe, 2 weiße und 3 rote Kugeln. Max zieht zwei kugeln nacheinander. Die erste gezogene Kugel legt er nur dann in den Behälter zurück, wenn sie weiß ist. Sonst behält er die Kugel. Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht Max mit dem zweiten Griff eine weiße Kugel?

Answer 1

P(zweite Kugel weiß) = P(rot-weiß) + P(gelb-weiß) + P(weiß-weiß)

P(rot-weiß) = 3/10 * 2/9 = 1/15

P(gelb-weiß) = 5/10 * 2/9 = 1/9

P(weiß-weiß) = 2/10*2/10 = 1/25

P(zweite Kugel weiß) = 1/15 +1/9 + 1/25 = 49/225 ≈ 0,218 = 21,8 %

Max zieht also mit einer Wahrscheinlichkeit von 21,8% mit dem zweiten Griff eine weiße Kugel.

Answer 2

Der beschriebene Versuch führt genau dann zum Erfolg, wenn Max im ersten Zug eine weiße Kugel zieht und auch im zweiten Zug eine weiße zieht oder wenn Max im ersten Zug keine weiße zieht, wohl aber im zweiten Zug.

Also:

P ("weiß im 2. zug")

= P ("weiß im 1. Zug) * P("weiß im 2. Zug | weiß im 1. Zug")

+ P ("nicht weiß im 1. Zug) * P ("weiß im zweiten Zug | nicht weiß im 1. Zug")


Es ist:

P ("weiß im 1. Zug) = 2 / 10 = 1 /  5

P("weiß im 2. Zug | weiß im 1. Zug") = 2 / 10 = 1 / 5

P("nicht weiß im 1. Zug") = 8 / 10 = 4 / 5

P ("weiß im zweiten Zug | nicht weiß im 1. Zug") = 2 / 9


Also:

P ("weiß im 2. Zug") = ( 1 / 5 ) * ( 1 / 5 ) + ( 4 / 5 ) ( 2 / 9 )

= ... = 49 / 225 = 0,21777... = 21,777... %