Zeigen Sie, dass die Verknüpfung ▢ auf der Potenzmenge assoziativ ist.

Question

Aufgabe:

Sei M eine Menge. Wir definieren eine Verknüpfung auf der Potenzmenge von M:
A▢B := A\B ∪ B\A
(a) Zeigen Sie, dass die Verknupfung ▢ auf der Potenzmenge assoziativ ist.
(b) Gibt es ein neutrales Element bzgl. der Verknupfung ▢ ? (Antwortmit Beweis)
(c) Gibt es zu jedem Element der Potenzmenge ein inverses Element
bzgl. der Verknupfung ▢ ? (Antwort mit Beweis)

Problem/Ansatz:

Hi irgendwie weiß ich nicht so ganz, wie ich diese Aufgabe lösen kann oder was ich machen muss, deswegen hoffe ich, dass ihr mir helfen könnt.

Danke schonmal :)

Comments

HIer die Verknüpfung mit dem Dreieck als Verknüpfungssymbol https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)#Symmetrische_Differenz . Möglicherweise findest du so mit einer Suchmaschine bereits eine vollständige Lösung für deine Aufgabe. Was ist bei euch M?

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Möglicherweise findest du so mit einer Suchmaschine bereits eine vollständige Lösung für deine Aufgabe.

Dann ist ja keine Aufgabe mehr.

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Richtig:) Nach 4 Stunden ist man vielleicht auch mal gezwungen Sylvester feiern zu gehen

Answer 1

Naja bei a) musst du ja zeigen, dass (A*B) *C = A *( B*C) und dafür musst du entsprechende deine vorgegebene Verknüpfung anwenden und Mengenoperationen.

b) naja wenn es ein neutrales Element gibt, dann muss A * E=A=E*A mit E ist das neutrale Element, in diese Fall muss das eine Menge sein. Dafür schaust du auf deine Verknüpfung, für welche Menge E kommt denn da wieder A heraus?

c) ist genau das gleiche: Du musst schauen ob eine Menge I existiert sodass A*I = E =I*A also das neutrales Element ergibt, das muss für jede Menge gelten. Auch da wieder die Verknüpfung anschauen, für welche Menge I kommt da das neutrale Element raus? Gibt es zu jeder Menge ein Inverses?

Comments

Hi danke erstmal für deine schnelle Antwort :)

Ich versteh es leider aber noch nicht ganz, also was assoziativ bedeutet weiß ich, aber ich verstehe nicht, wie ich das hier zeigen kann.

Und beim 2ten versteh ich noch nicht, wie ich das machen oder ausrechnen kann, weil ich die Verknüpfung selbst auch noch nicht ganz verstehe bzw nicht weiß wie ich damit was ausrechnen kann.

Und bei dem 3 das gleiche.

Sorry für die ganzen Fragen, aber irgendwie stehe ich da gerade auf dem Schlauch

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Assoziativität findest du ausführlich, wenn du symmetrische Differenz assoziativität mal googlst. Ist relativ ausführlich das zu zeigen.

Bei b) schau doch mal, was passiert, wenn du eine beliebige Menge A mit deiner leeren Menge verknüpfst: dann steht da A* {} = A/{}u {} /A und da kommt gerade was raus?

C) nehm als Inverses die Menge selbst dann steht da A*A = A/A u A/A aber das ist gerade was?

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Ah okay dankee, das macht Sinn und beim dritten käme dann die leere Menge raus oder?

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Genau also genau das neutrale Element und damit hast du ja dein Inverses gefunden

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Okay vielen Dank für deine Hilfe :)

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Hi, ich habe das gerade nochmal mit der Assoziativität versucht zu zeigen, aber ich weiß nicht ganz wie ich hier vorgehen soll, weil ich das bisher noch nie bei Verknüpfung zeigen musste. Habt ihr da vielleicht einen Tipp für mich?
Danke schonmal

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Also ich habe dazu was gefunden, aber verstehe das leider nicht.

Vielleicht kann mir das jemand kurz erklären, das wäre super lieb :)

A ∆ (B ∆ C) = A ∆ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C)
= A ∩ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ A ∩ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C)
= A ∩ (B ∪ C) ∩ (B ∪ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
= A ∩ B ∩ (B ∪ C) ∪ C ∩ (B ∪ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)
= A ∩ (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C);
(A∆B)∆C =(A∩B)∪(A∩B)∆C
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∩ C ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∩ C
= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∪ B) ∩ (A ∪ B) ∩ C
= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ A ∩ (A ∪ B)∪B ∩ (A ∪ B) ∩ C
= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∩ C
= (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)

Ichs hoffe man versteht das ich kann das hier so schwierig schreiben

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Hallo,

das sieht mehr als falsch aus. Schon die allererste Zeile ist falsch.

Gruß Mathhilf

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Kannst du mir denn vlt sagen, wie es richtig ist?