Aloha :)
\(V=\mathbb R[x]_{<n}\) enthält alle Polynome der Form:$$p(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k$$
Die Abbildungsvorschrift \(\nabla\) bildet diese Polynome auf ihre Ableitung ab:$$p(x)\mapsto p'(x)\quad\text{bzw.}\quad\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\mapsto\sum\limits_{k=0}^{n-1}ka_kx^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}ka_kx^{k-1}$$
Wir erkennen, dass alle Terme mit den Koeffizienten \(a_0\) in den Bildern weggefallen sind, weil die Ableitung einer Konstanten \(a_0\) ja \(=0\) ist. Der Kern der Abbildung besteht also aus allen Polynomen der Form:$$p_0(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k\quad;\quad a_0\in\mathbb R\quad;\quad a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}=0$$
Wenn wir Elemente des Vektorraums \(V\) durch Vektoren der Form \((a_0,a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})^T\) symbolisieren, bildet der Vektor \((1,0,0,\ldots,0)^T\) eine Basis des Kerns.
