Bestimmen Sie eine Basis von Kern(∇).

Question

Hallo, kann mir jemand bitte bei der folgenden Aufgabe helfen? Ich habe leider keinen Ansatz.

Sei V=ℝ[x]_<n. Sei ∇ : V→V, p(x)→p'(x). Bestimmen Sie eine Basis von Kern(∇).

Answer 1

Aloha :)

$V=\mathbb R[x]_{<n}$ enthält alle Polynome der Form:$$p(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k$$

Die Abbildungsvorschrift $\nabla$ bildet diese Polynome auf ihre Ableitung ab:$$p(x)\mapsto p'(x)\quad\text{bzw.}\quad\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_kx^k\mapsto\sum\limits_{k=0}^{n-1}ka_kx^{k-1}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}ka_kx^{k-1}$$

Wir erkennen, dass alle Terme mit den Koeffizienten $a_0$ in den Bildern weggefallen sind, weil die Ableitung einer Konstanten $a_0$ ja $=0$ ist. Der Kern der Abbildung besteht also aus allen Polynomen der Form:$$p_0(x)=\sum\limits_{k=0}^{n-1}x^k\quad;\quad a_0\in\mathbb R\quad;\quad a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}=0$$

Wenn wir Elemente des Vektorraums $V$ durch Vektoren der Form $(a_0,a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})^T$ symbolisieren, bildet der Vektor $(1,0,0,\ldots,0)^T$ eine Basis des Kerns.