Zeige, dass das Vektorprodukt differenzierbar ist

Question

Aufgabe:

Das Vektorprodukt wird folgend definiert:

x: ℝ³ x ℝ³ → ℝ³, (v,w)↦v x w mit

\( \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix} \) x \( \begin{pmatrix} w_1\\w_2\\w_3 \end{pmatrix} \) := \( \begin{pmatrix} v_2w_3-v_3w_2\\v_3w_1-v_1w_3\\v_1w_2-v_2w_1 \end{pmatrix} \)

Zeige, dass das Vektorprodukt differenzierbar ist, und bestimme die Ableitung von (g × h) (x) := g(x) × h(x) für¨
differenzierbare Funktionen g, h : ℝ →ℝ³

Ich brauche bitte Hilfe

Answer 1

Aloha :)

Da alle Komponenten-Funktionen von \(\vec g\) und \(\vec h\) differenzierbar sind, sind auch deren Produkte untereinander differenzierbar und die Differenzen dieser Produkte. Die Hauptaufgabe besteht hier also darin, die Ableitung mit der Produktregel zu bestimmen.

$$\frac{d}{dx}\left(\vec f\times\vec g\right)=\frac{d}{dx}\left(\begin{array}{c}f_2\cdot g_3-f_3\cdot g_2\\f_3\cdot g_1-f_1\cdot g_3\\f_1\cdot g_2-f_2\cdot g_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{d}{dx}(f_2\cdot g_3-f_3\cdot g_2)\\\frac{d}{dx}(f_3\cdot g_1-f_1\cdot g_3)\\\frac{d}{dx}(f_1\cdot g_2-f_2\cdot g_1)\end{array}\right)$$$$\phantom{\frac{d}{dx}\left(\vec f\times\vec g\right)}=\left(\begin{array}{c}f_2'\cdot g_3+f_2\cdot g_3'-f_3'\cdot g_2-f_3\cdot g_2'\\f_3'\cdot g_1+f_3\cdot g_1'-f_1'\cdot g_3-f_1\cdot g_3'\\f_1'\cdot g_2+f_1\cdot g_2'-f_2'\cdot g_1-f_2\cdot g_1'\end{array}\right)$$$$\phantom{\frac{d}{dx}\left(\vec f\times\vec g\right)}=\left(\begin{array}{c}f_2'\cdot g_3-f_3'\cdot g_2\\f_3'\cdot g_1-f_1'\cdot g_3\\f_1'\cdot g_2-f_2'\cdot g_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}f_2\cdot g_3'-f_3\cdot g_2'\\f_3\cdot g_1'-f_1\cdot g_3'\\f_1\cdot g_2'-f_2\cdot g_1'\end{array}\right)$$$$\phantom{\frac{d}{dx}\left(\vec f\times\vec g\right)}=\frac{d\vec f}{dx}\times \vec g+\vec f\times\frac{d\vec g}{dx}$$

Die Produktregel gilt also auch für das Vektorprodukt.