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Aufgabe 25:
Geben Sie alle maximalen offenen Kreisringe mit Mittelpunkt z=0 z=0 an, in denen f f in eine Laurentreihe entwickelt werden kann, und geben Sie jeweils die entsprechende Laurentreihe an. (Mit „maximal" ist hier gemeint: Kann f f auf zwei Kreisringen KK K \subsetneq K^{\prime} in eine Laurentreihe entwickelt werden, müssen Sie K K nicht angeben.)
(a) f(z)=1(z1)(z2) f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}
(b) f(z)=1z(z1)(z2) f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}


Problem/Ansatz:

Ich hab hier irgendwie keine Ansätze

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a) Hier ist eine Partialbruchzerlegung und dann die Entwicklung als geometrische Reihe sinnvoll.

1(z1)(z2) \frac{1}{(z-1)(z-2)} =1(z1) \frac{-1}{(z-1)} 1(z2) \frac{1}{(z-2)} =  1z \frac{-1}{z} 111/z \frac{1}{1-1/z} - 12 \frac{1}{2} 11z/2 \frac{1}{1-z/2} = -n=11zn \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{z^n}}   -  12 \frac{1}{2}   n=0(12z)k \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{1}{2}z)^k}  

Nun kann man den ersten Summanden umschreiben, sodass man von - ∞ bis 1 summiert. Das müsste dann die Laurentreihe sein. Diese konvergiert in A1,2(0).


b) Multipliziere die Laurentreihe aus a) mit 1z \frac{1}{z} . Der Kreisring sollte der gleich sein.


Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

LG

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Gott vielen Dank unser Prof ist schrecklich im erklären

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