Entwicklung Laurentreihe um Kreislinie

Question

Aufgabe 25:
Geben Sie alle maximalen offenen Kreisringe mit Mittelpunkt \( z=0 \) an, in denen \( f \) in eine Laurentreihe entwickelt werden kann, und geben Sie jeweils die entsprechende Laurentreihe an. (Mit „maximal" ist hier gemeint: Kann \( f \) auf zwei Kreisringen \( K \subsetneq K^{\prime} \) in eine Laurentreihe entwickelt werden, müssen Sie \( K \) nicht angeben.)
(a) \( f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)} \)
(b) \( f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)} \)

Problem/Ansatz:

Ich hab hier irgendwie keine Ansätze

Answer 1

a) Hier ist eine Partialbruchzerlegung und dann die Entwicklung als geometrische Reihe sinnvoll.

\( \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) =\( \frac{-1}{(z-1)} \) + \( \frac{1}{(z-2)} \) =  \( \frac{-1}{z} \)\( \frac{1}{1-1/z} \) - \( \frac{1}{2} \) \( \frac{1}{1-z/2} \) = -\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{z^n}} \)  -  \( \frac{1}{2} \)  \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{1}{2}z)^k} \) 

Nun kann man den ersten Summanden umschreiben, sodass man von - ∞ bis 1 summiert. Das müsste dann die Laurentreihe sein. Diese konvergiert in A_1,2(0).

b) Multipliziere die Laurentreihe aus a) mit \( \frac{1}{z} \). Der Kreisring sollte der gleich sein.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

LG

Comments

Gott vielen Dank unser Prof ist schrecklich im erklären