Entwicklung Laurentreihe um Kreislinie

Question

Aufgabe 25:
Geben Sie alle maximalen offenen Kreisringe mit Mittelpunkt $z=0$ an, in denen $f$ in eine Laurentreihe entwickelt werden kann, und geben Sie jeweils die entsprechende Laurentreihe an. (Mit „maximal" ist hier gemeint: Kann $f$ auf zwei Kreisringen $K \subsetneq K^{\prime}$ in eine Laurentreihe entwickelt werden, müssen Sie $K$ nicht angeben.)
(a) $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$
(b) $f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}$

Problem/Ansatz:

Ich hab hier irgendwie keine Ansätze

Answer 1

a) Hier ist eine Partialbruchzerlegung und dann die Entwicklung als geometrische Reihe sinnvoll.

$\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ =$\frac{-1}{(z-1)}$ + $\frac{1}{(z-2)}$ =  $\frac{-1}{z}$$\frac{1}{1-1/z}$ - $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{1-z/2}$ = -$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{z^n}}$  -  $\frac{1}{2}$  $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(\frac{1}{2}z)^k}$ 

Nun kann man den ersten Summanden umschreiben, sodass man von - ∞ bis 1 summiert. Das müsste dann die Laurentreihe sein. Diese konvergiert in A_1,2(0).

b) Multipliziere die Laurentreihe aus a) mit $\frac{1}{z}$. Der Kreisring sollte der gleich sein.

Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

LG

Comments

Gott vielen Dank unser Prof ist schrecklich im erklären