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Hallo, hier noch eine harte Aufgabe an der ich selbst scheitere, danke schön

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a)

2·sin(x)^2 + 3·cos(x) = 3
2·(1 - cos(x)^2) + 3·cos(x) = 3
2 - 2·cos(x)^2 + 3·cos(x) = 3
-2·cos(x)^2 + 3·cos(x) - 1 = 0

z = cos(x)

-2·z^2 + 3·z - 1 = 0

Über abc-Lösungsformel erhalten wir die Lösungen:  z = 1/2 ∨ z = 1

x = acos(1/2)
x1 = 1/3 pi
x2 = 5/3 pi

x = acos(1)
x3 = 0
x4 = 2 pi

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Ich schreibe mal hier a = x1 und b = x2

Zunächst kümmer ich mich um die linke Seite der Gleichung

tan(a - b) 
= sin(a - b) / cos(a - b) 
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)

Jetzt kümmer ich mich mal zunächst um die rechte Seite der Gleichung

(tan a - tan b) / (1 + tan a * tan b)
= (sin a / cos a - sin b / cos b) / (1 + sin a / cos a * sin b / cos b)
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) / (1 + sin a * sin b / (cos a * cos b))
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) / ((cos a * cos b + sin a * sin b) / (cos a * cos b))

Ich teile durch einen Bruch indem ich mit dem Kehrbruch multipliziere

= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b) * (cos a * cos b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)
= (sin a * cos b - cos a * sin b) / (cos a * cos b + sin a * sin b)

Da die rechte und die linke Seite jetzt identisch sind habe ich gezeigt das das Additionstheorem für die tan-Funktion gilt.

c)

Die Graphen der Funktionen f(x) und g(x) sind identisch.

cos(2x + pi/2) = -sin(2x)

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