Ist meine Menge beschränkt, offen bzw. Abgeschlossen?

Question

Ich soll in meiner Aufgabe sagen ob meine Menge beschränkt offen oder abgeschlossen ist.

Ist meine Lösung hierzu richtig?

Edit: Es soll natürlich immer x² sein! Ich habe mich leider verschrieben

Answer 1

Um die Offenheit der Menge zu zeigen, musst du zeigen, dass es fuer jeden Punkt in der Menge eine offene Umgebung gibt, welche in der Menge enthalten ist. Wir wissen, dass die Menge ein Ball mit Zentrum $x_{0}=0$ und Radius $r=4$ ist, der seinen Rand nicht enthaelt. Ist nun $x \in M$ beliebig, so sei $d_{x}=\left\|x_{0}-x\right\|_{2}$. Dann waehlen wir
$\begin{aligned} r_{x}=d_{x}+\frac{\left|d_{x}-r\right|}{2}<r \end{aligned}$
und somit ist $x \in \mathrm{B}_{r_{x}}\left(x_{0}\right) \subseteq M$ in dem offenen Ball mit Radius $r_{x}$ enthalten. Da $x$ beliebig war, folgt die Offenheit.