Abschnitt des maximalen Definitionsbereichs, bei dem die Funktion monoton ansteigt

Question

Aufgabe:

Auf welchem Abschnitt ihres maximalen Definitionsbereichs steigt die folgende
Funktion monoton an?

f(x) = \( \frac{x}{ln(x)} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Verständnis-Problem.

Ich habe als erstes f´(x) gebildet, komme dann aber bei der Berechnung des x-Wertes nicht weiter.
Ist das überhaupt notwendig bei der ln- oder e-Fkt?

Answer 1

f = x / ln(x)
f ´( x ) = (ln(x) -1 ) / (ln(x))^2
Monotonie steigend
(ln(x) -1 ) / (ln(x))^2 > 0

(ln(x))^2  ist stets > 0
ln(x) - 1 muß auch positiv sein

ln(x) - 1 > 0
ln(x) > 1  | e hoch
x > e^1

Ab x > e ist die Funktion monton steigend

Comments

(ln(x))^2  ist stets > 0

Das ist ein Irrtum. Du wolltest vermutlich sagen für alle x aus dem Definitionsbereich.

ln(x) - 1 muß auch positiv sein

Auch das ist ein Irrtum. Es darf nur nicht negativ sein oder nicht? Es geht um monoton steigend und nicht um streng monoton steigend. Aber auch bei streng monoton steigend spielen einzelne Stellen bei denen die Ableitung null ist keine Rolle.

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(ln(x) -1 ) / (ln(x))^2 > 0
(ln(x))^2  ist stets > 0

ln(x) - 1 muß auch positiv sein
heißt nur + / + ergibt wieder was positives

Answer 2

f(x) = x/LN(x)

f'(x) = (LN(x) - 1)/LN(x)^2 ≥ 0 --> x ≥ e

Comments

Das hilft mir leider nicht wirklich weiter. Ich stehe da wohl auch auf dem Schlauch.
Wie genau wurde jetzt das x bestimmt?

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Die 1. Ableitung muss größer Null sein.

Bilde die Ableitung mit der Quotientenregel!

u = x -> u' =1

v = ln(x) -> v' = 1/x

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