Maximalen Teilintervalle von D auf denen f monoton ist.

Question

Ich hoffe Sie können mir dort etwas auf die Sprünge helfen :(

"Vorgelegt sei die Funktion f(x)=ln(-(x-2)(x+3))

Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D, und den Wertebereich W von f.

Untersuchen sie f auf Monotonie und geben Sie die maximalen Teilintervalle von D an, auf welchen f monoton ist."

Dmax müsste ℝ>0\{4,6} und W=ℝ sein ich mich nicht täusche, auf den Rest komme ich leider ohne Hilfe nicht :(

Wäre sehr dankbar wenn mir das jemand erklären könnte :)

Answer 1

 f(x) = ln( - (x-2)·(x+3) )

Das Argument -(x-2)(x+3) des ln ist Funktionsterm einer nach unten geöffneten Parabel. Es ist also zwischen dessen Nullstellen x₁ = - 3 und x₂ = 2 positiv

→  D_max = ] -3 ; 2 [

f '(x)  = (2·x + 1) / ((x - 2)·(x + 3)) 

f '(x) > 0 für x < - 1/2  →  f streng monoton steigend in ] -3 ; -1/2 [

f '(x) < 0 für x > - 1/2  →  f streng monoton fallend in ] - 1/2 ; 2 [

Der Maximalwert von f(x) ist deshalb f(-1/2) = 2 * ln(5/2) ≈ 1,83

lim_{x→ -3+} f(x) = lim_{x→ 2-} f(x) = -∞

→  W_f = ] - ∞ ; 2*ln(5)]

Gruß Wolfgang