Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers!

Question

An die Kurve p : y = (1/2)*x²+1 wird an der Stelle x = 2 eine Tangente t gelegt. Die Tangente t, die Kurve p und die y−Achse begrenzen ein Flächenstück. (Skizze!)

(b) Das Flächenstück rotiert um die y−Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Drehkörpers!

Answer 1

Aloha :)

Die Tangente an die Kurve$$y_p=\frac{x^2}{2}+1$$an der Stelle $x=2$ lautet mit $y'_p(x)=x$:$$t(x)=y_p(2)+y'_p(2)\cdot(x-2)=3+2\cdot(x-2)=2x-1$$

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f₁(x) = x²/2+1f₂(x) = 2x-1P(2|3)Zoom: x(0…4) y(-2…5)

Das von der Tangente $t(x)$, von der Kurve $y_p(x)$ und der $y$-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die $y$-Achse.

Von $y=-1$ bis $y=3$ entstehen dabei Außenkreise, deren Radius $r_a$ durch die Tangente bestimmt wird. Dieser Radius ist der zu dem jeweiligen $y$-Werte passende $x$-Wert, den wir durch Bilden der Umkehrfunktion erhalten, also $r_a=\frac{y+1}{2}$. Die Flächen $\pi\,r_a^2$ dieser Kreise müssen wir entlang der $y$-Achse summieren.

Von $y=1$ bis $3$ bestimmt die Funktion $y_p$ einen von Null verschiedenen Innenradius $r_i$, den wir durch die Bildung der Umkehrfunktion zu $y_p$, also durch $r_i=\sqrt{2(y-1)}$ erhalten. Die bei der Rotation um die $y$-Achse entstehenden Flächen $\pi\,r_i^2$ müssen wir entlang der $y$-Achse subtrahieren.

$$V=\int\limits_{-1}^3\pi\left(\frac{y+1}{2}\right)^2dy-\int\limits_1^3\pi\left(\sqrt{2(y-1)}\right)^2dy$$$$\phantom{V}=\frac{\pi}{4}\int\limits_{-1}^3(y+1)^2dy-2\pi\int\limits_1^3\left(y-1\right)dy=\frac{\pi}{4}\left[\frac{(y+1)^3}{3}\right]_{-1}^3-2\pi\left[\frac {y^2}{2}-y\right]_{1}^3$$$$\phantom{V}=\frac{\pi}{4}\left(\frac{64}{3}-0\right)-2\pi\left(\frac92-3-\frac12+1\right)=\frac{16}{3}\pi-4\pi=\frac43\pi$$

Comments

Ich habe auch solches Ergebniss bekommen. Aber in den Lösüngen steht es 4,19π VE

:/

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Dann ist die Musterlösung von deinem Leerer wohl falsch.