Aloha :)
Die Tangente \(t(x)\) an eine Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) hat allgemein die Gleichung:$$t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)$$Hier lauten die Funktion und ihre Ableitung$$y(x)=\frac{x^2}{2}+1\quad\text{und}\quad y'(x)=x$$und die Tangente soll an \(x_0=2\) gelegt werden:$$t(x)=y(2)+y'(2)\cdot(x-2)=3+2\cdot(x-2)=2x-1$$
~plot~ x^2/2 + 1 ; 2x-1 ; {2|3} ; [[-4|4|-2|6]] ~plot~
Zur Berechnung des Volumens \(V\), das bei Rotation um die \(y\)-Achse entseht, lassen wir zum einen dieTangente für \(x\in[0;2]\) um die \(y\)-Achse rotieren und subtrahieren davon das Volumen, das bei der Rotation der Parabel um die \(y\)-Achse für \(x\in[0;2]\) entsteht:$$V=V_{\text{Tangente}}-V_{\text{Parabel}}$$
Bei Rotation der Tangente enstehen Kreise um die \(y\)-Achse mit dem Radius \(x\), also der Fläche \(\pi x^2\). Diese Flächen müssen wir entlang der \(y\)-Achse von \(t(0)\) bis \(t(2)\) summieren.$$V_{\text{Tangente}}=\int\limits_{t(0)}^{t(2)}\pi\,x^2\,dt$$Bei Rotation der Parabel entstehen ebenfalls Kreise um die \(y\)-Achse, sodass$$V_{\text{Parabel}}=\int\limits_{y(0)}^{y(2)}\pi\,x^2\,dy$$Damit können wir das gesuchte Volumen formulieren:$$V=\int\limits_{t(0)}^{t(2)}\pi\,x^2\,dt-\int\limits_{y(0)}^{y(2)}\pi\,x^2\,dy=\int\limits_0^2\pi x^2\,\frac{dt}{dx}\,dx-\int\limits_0^2\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx$$$$\phantom{V}=\int\limits_0^2\pi x^2\left(\frac{dt}{dx}-\frac{dy}{dx}\right)\,dx=\int\limits_0^2\pi x^2\left(2-x\right)\,dx=\pi\int\limits_0^2\left(2x^2-x^3\right)\,dx$$$$\phantom{V}=\pi\left[x^3-\frac{x^4}{4}\right]_0^2=\pi\left(8-\frac{16}{4}\right)=4\pi$$
