Kreissektorwinkel berechnen ohne Angabe des Radius

Question

Aufgabe:

Ein Kreissektor mit Flächeninhalt 45FE ist gegeben der den Mantel eines Kegels mit Grundkreisdurchmesser von 6LE darstellt. Gefragt ist nach dem Mittelpunktswinkel des Kreissektors.

Problem/Ansatz:

Ursprünglich habe ich gedacht, dass ich mit der Formel für den Flächeninhalt des Sektors weiterkomme aber dafür benötige ich doch die Mantellinie oder den Radius des Kreissektors (In der Aufgabenstellung ist ja nur der Durchmesser des Grundkreises gegeben) um nach Alpha umstellen zu können. Der Kreisbogen des Sektors müsste jedoch 4Pi dein, falls das helfen sollte. Bin etwas verwirrt was von mir erwartet wird, würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

setzte diese Informationen doch in die bekannten Gleichungen für Kreissektor und Kreisumfang ein, \(s\) sei die Mantelinie des Kegels und gleichzeitig der Radius des Kreissektors:$$\begin{aligned}\frac 12 s^2\alpha &= 45\,\text{LE}^2 &&\text{Fläche Kreissektor}\\ s\alpha &= \pi \cdot 6\,\text{LE}&&\text{Länge Kreissektor = Umfang Grundkreis}\\\end{aligned}\\ \implies \frac 12 s^2\alpha = \frac12s \cdot s\alpha=\frac12 s \pi 6\,\text{LE} = 45\,\text{LE}^2\\ \implies s = \frac{15}{\pi}\,\text{LE} \\\implies \alpha = \frac{2F}{s^2} = \frac{\pi^2 \cdot 2\cdot 45\,\text{LE}^2}{15^2\,\text{LE}^2}=0,4\pi^2 \,:= \frac{0,4 \pi^2 \cdot 180°}{\pi} \approx 226,2°$$Gruß Werner

Comments

Antwort korrigiert (Umfang und Durchmesser verwechselt!)

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Der Flächeninhalt eines Kreissektors ist gleich 0,5*(Mantellinie)²*Alpha? Haben sie einen Link wo ich etwas darüber nachlesen kann? Habe noch nie von dieser Formel gehöhrt. Das wäre sehr nett.

KOMMENTAR: Hat sich erledigt, das ist nur die gekürzte Formel von meiner Formel, Vielen dank ihnen!!  :))

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Der Flächeninhalt eines Kreissektors ist gleich 0,5*(Mantellinie)2*Alpha? ... Habe noch nie von dieser Formel gehört

Entweder bei Wiki oder bei Matheretter. Wobei in beiden Quellen (Achtung!) der Winkel in Grad angegeben ist. Ich habe oben den Winkel im Bogenmass angegeben und erst zum Schluß in Grad umgerechnet.

Du kennst Doch die Fläche eines Kreises:$$F_k = \pi r^2$$Die kannst Du schreiben$$F_k = \frac12 r^2 \cdot \underbrace{2\pi}_{360°}$$Und der Kreissektor ist eben nur ein Teil des Kreises bezogen auf den Vollkreis$$F_s = \frac12 r^2 \cdot \alpha$$Ist \(\alpha\) der ganze Kreis \(\alpha=360°=2\pi\) ist die Fläche der ganze Kreis, ist \(\alpha\) der halbe Kreis \(\alpha=180°=\pi\) ist die Fläche eben halb so groß - usw.

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wie kommen sie von 0,5s²*Alpha auf s*Alpha = 6Pi? Dieser Rechenschritt ist etwas unverständlich für mich.

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wie kommen sie von 0,5s²*Alpha auf s*Alpha = 6Pi?

Das eine folgt nicht aus dem anderen. Das sind zwei Gleichungen, die jede für sich aus der Aufgabenstellung folgen. Das steht jeweils hinter der Gleichung.

Die zweite Gleichung folgt aus der Länge (des Kreisbogens) des Kreissektors. Wenn man den Kreissektor zum Mantel eines Kegels formt, dann wird die Länge des Kreissektors zum Umfang des Grundkreises. Das muss das selbe sein, sonst passt der Mantel nicht um den Kegel.

Der Umfang \(U\) des Grundkreises ist \(\pi \cdot d = 6\pi\), wenn \(d=6\) der Durchmesser ist.

Und die Länge des Kreissektors bzw. die Länge \(L\) des zum Kreissektor gehörenden Kreisbogens ist \(L=s\cdot \alpha\), wenn \(s\) der Radius des Kreissektors bzw. -bogens ist.

Du kennst den Umfang eines Kreises mit Radius \(r\)$$U = \underbrace{2\pi}_{\to 360°} \cdot r$$Die \(2\pi\) sind der Winkel des Vollkreises. Und der Umfang ist die Länge des Kreisbogens des Vollkreises. Ist der Winkel kleiner wird auch die Länge proportional kleiner.