Logarithmus und Bruch mit Wurzeln Zeige, dass für alle x ≥ 0 (...) gilt.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass für alle x ≥ 0  gilt :

Problem/Ansatz:

Ich habe versucht die Monotonie so zu bestimmen, wie ich es üblicherweise auch tue. Nämlich indem man zuerst die 1.Ableitung bestimmt, und dann mit einer Monotonietabelle arbeitet.
Jedoch habe ich es nicht geschafft die Gleichung f ' (x) = 0 zu lösen...
Ich dachte es hilft mir, wenn ich den Graph in einem Programm zeichne (um eben das Monotonieverhalten zu sehen),
jedoch hilft es mir nicht bei der Lösung (dem Zeigen) der Aufgabe.

Wie muss ich vorgehen? (Wenn ihr eure Gedanken bei den einzelnen Schritten auch mitaufschreibt, wäre das sehr hilfreich, falls es euch nichts ausmacht natürlich)

Answer 1

Hallo

1, bei x=0 sind die Funktionen gleich. dann betrachte das Steigungsverhalten für x>0 der beiden, die die für alle x >0 die größere Steigung hat ist dann immer größer.

(warum du f'=0 ansehen willst verstehe ich nicht, aber sehen sollte man schon, dass das bei x=0 der Fall ist)

Gruß lul

Comments

Danke für deine Antwort.

Um das Steigungsverhalten zu untersuchen, muss man doch jetzt mithilfe der Ableitungen die Extremwerte und damit die Monotonie der beiden Funktionen bestimmen, oder?

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Hallo

ich hatte gesagt, wie man vorgehen kann, du gehst nicht daraus ein sondern willst Extremwerte bestimmen? Warum?

lul

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Oh, dann verstehe ich wohl nicht was du meinst.

Könntest du es bitte nochmal etwas ausführlicher beschreiben?

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Habe noch rumprobiert, aber kriege es nicht hin :(

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Hallo

meine Idee war anders, aber Ermanus hat ja die gefragte Lösung geschickt.

lul

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Habe bei dir kommentiert, da ich die andere Antwort auch leider nicht ganz verstanden habe.

Nachdem man für f(0) = 0 gezeigt hat, muss man dann noch etwas für die Lösung machen?

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Hallo

gleich zu Anfang sagtest du, du kannst die Monotonie von f(x) nicht zeigen? jetzt hat ermanus die f'(x) hingeschrieben das ist für alle 0<x<1 größer 0 und für x=0 0 was heist das denn für f(x)?

(du solltest nicht ermanus einfach abschreiben, donfrtn a) nachrechnen, und b begründen warum >0

ich hatte das aufgeteilt und gesagt die rechte Funktion steigt stärker als die linke, bei 0 sind sie gleich also ist die rechte größer als die Linke für 0<x<1

lul

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Das Problem ist ja, dass ich nicht weiß wie ich begründen soll.
Die Ableitung habe ich schon so errechnet, damit habe ich keine Probleme.
Jedoch kann damit aber irgendwie nichts anfangen.
Kannst du mir zeigen, wie man bei so einer Aufgabe begründet?

Answer 2

Es ist $$f'(x)=\frac{(1-\sqrt{1+x})^2}{2\sqrt{1+x}(1+x)}\geq 0$$ für \(x\geq 0\). Mit \(f(0)=0\) folgt dann die Behauptung.