Warum divergiert die Reihe für |z| = 1?

Question

Die geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn zⁿ konvergiert. Die ist für |z|<1 der Fall, weil dann \( \lim\limits_{n\to\infty} \) zⁿ = 0.

Damit ist \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{z^n} \) = \( \frac{1}{1-z} \) für |z|<1

Für |z|>=1 divergiert die Reihe.

Frage:

Warum divergiert die Reihe für |z| = 1? Das verstehe ich nicht.

Answer 1

Die geom. Reihe ist 1+z+z²+z³+...

Diese Summe wächst für z=1 ins unendliche, divergiert also.

Den Fall z=-1 kannst du dir selbst überlegen.

Comments

Ja das macht natürlich total Sinn. Für |x|<1 ist dann ja irgendwann der Fall gegeben, dass nur noch eine 0 addiert wird, da zⁿ bei n->∞ für |z|<1 gegen 0 geht.

Hatte die Folge total falsch im Kopf... Danke!

Answer 2

abakus hat das Verhalten der reellen geometrischen Reihe

ja bereits ausreichend besprochen.

Für den allgemeinen Fall einer komplexen Zahl \(x\) mit \(|x|=1\) kannst

du dir überlegen, dass in diesem Falle \((x^n)\) keine Nullfolge ist.

Wie war nochmal ein gewisses notwendiges Kriterium für

die Konvergenz einer Reihe ?

Comments

Die Glieder müssen eine Nullfolge bilden und das ist bei |z|=1 offensichtlich nicht der Fall

---

Genau ;-) \(\;\;\;\;\;\)