Zeigen Sie, daß für alle v, w ∈ V gilt

Question

Text erkannt:

Es sei \( (V, \Phi) \) ein euklidischer Raum. Weiter sei \( \|\cdot\|: V \rightarrow \mathbb{R}, v \mapsto \sqrt{\Phi(v, v)} \) die durch \( \Phi \) induzierte Norm.
Zeigen Sie, daß für alle \( v, w \in V \) gilt:
a) \( \Phi(v+w, v-w)=\|v\|^{2}-\|w\|^{2} . \)
b) \( \|v-w\|^{2}=\|v\|^{2}+\|w\|^{2}-2 \cdot\|v\| \cdot\|w\| \cdot \cos \angle(v, w) \)
(verallgemeinerter Satz von Pythagoras oder Cosinussatz).
c) \( \|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2 \cdot\left(\|v\|^{2}+\|w\|^{2}\right) \)
(Parallelogrammidentität)
Es sei nun \( V:=\mathbb{R}[X]_{\leq n} \) der Vektorraum der Polynome vom Grad \( \leq n \) mit \( n \geq 1 \). Wird die Supremumsnorm
\( \|\cdot\|_{\text {sup }}: V \rightarrow \mathbb{R}, f=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} X^{k} \mapsto \sup _{k \leq n}\left|a_{k}\right| . \)
von einem Skalarprodukt induziert? Begründen Sie Ihre Antwort.

Comments

Die Parallelidentität habe ich hinbekommen, bei a und b klappt es aber irgendwie nicht

Answer 1

a) rechnest du einfach nach:

(Verwende die Bilinearität und Symmetrie von Φ.

 \( \Phi(v+w, v-w) = \Phi(v,v) +  \Phi(v,-w) + \Phi(w,v) +  \Phi(w,-w)  \)

\( = \Phi(v,v) -  \Phi(v,w) + \Phi(w,v) +  \Phi(w,-w) \)

\(= \Phi(v,v) - \Phi(v,w) + \Phi(v,w) -  \Phi(w,w) \)

\(= \Phi(v,v)  - \Phi(w,w) =\|v\|^{2}-\|w\|^{2} . \)

Comments

Super, vielen Dank!

b habe ich nun auch hinbekommen