Aufgabe zur Binomialverteilung mit Kugeln

Question

Aufgabe:

Urne mit 15 weißen und 15 schwarzen Kugeln, es wird 50× gezogen (Mit Zurücklegen)

a) E1: Wslk. genau 25 weiße Kugeln

b) E2: mehr weiße als schwarze

c) E3: die ersten 10 Kugeln sind weiß

d) E4: die letzten 10 Kugeln sind weiß

e) E5: höchstens 25 weiße Kugeln

f) E6: mindestens 25 weiße Kugeln

Problem/Ansatz:

Hallo steh grade mit der Binomialverteilung auf dem Schlauch (länger nicht mehr gemacht)

Bin bereits an der a) wg fehlender Routine gescheitert, aber b-d habe ich gar keine Ahnung, könnte jemand anhand eines Beispiels mir es zeigen, zum wieder reinkommen?

Answer 1

Ein Bernoulliexperiment (d.h. ein Experiment mit den zwei Ergebnissen Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit $p$) und Misserfolg) wird $n$ mal unabhängig voneinander durchgeführt. Die Zufallsgräße $X$ bezeichne die Anzahl der Erfolge.

Dann beträgt die Warscheinlichkeit für genau $k$ Erfolge

        $P(X=k) = {n\choose k}\cdot p^k (1-p)^{n-k}$.

Urne mit 15 weißen und 15 schwarzen Kugeln, es wird 50× gezogen (Mit Zurücklegen)

$p=\frac{15}{15+15}$

$n=50$

a) E1: Wslk. genau 25 weiße Kugeln

$k=25$

Einsetzenausrechnenfertig.

e) E5: höchstens 25 weiße Kugeln

        $P(X\leq 25) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + \ldots + P(X=25)$

Einsetzenausrechnenfertig.

Weil das recht aufwendig ist, haben Taschenrechner eine Funktion eingabaut, die das für dich übernimmt. Die findest du in der Bedienungsanleitung unter dem Stichwort kumulierte Binomialverteilung.

c) E3: die ersten 10 Kugeln sind weiß

Zehnstufiges Baumdiagramm. In diesem gibt es nur einen einzigen Pfad, in dem alle Kugeln weiß sind.

Comments

Bei der a) käme dann 1,123×10^-15 raus?Weil aus n über k wird doch 1,2641...

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aus n über k wird doch 1,2641...

Der Binomialkoeffizient $n\choose k$ ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus einer $n$-elementigen Menge $k$ Elemente auszuwählen.

Die Anzahl der Möglichkeiten ist eine natürliche Zahl, kann also nicht 1,2641... sein.

Formel zur 'Berechnung:

        ${n\choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Beispiel:

        ${7\choose 3} = \frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)\cdot (4\cdot 3\cdot 2\cdot 1)} = \frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1} = 35$

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Sowohl der Taschenrechner als auch die Stochastik Tabelle spucken aber nichts anderes als 1,2641... aus

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In welcher Stochastiktabelle hast du den Wert $50 \choose 25$ nachgeschaut? Und wie hast du $50 \choose 25$ mit welchem Taschenrechnermodell berechnet?