Zeigen Sie, dass (fn) uneigentlich gegen ∞ konvergiert für n → ∞ .

Question

Es sei $\sum \limits_{k \geq 0} a_{k}$ eine divergente Reihe in $(0, \infty)$ und die Potenzreihe $\sum \limits_{k \geq 0} a_{k} z^{k}$ besitze den Konvergenzradius 1. Wir definieren
$f_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{\infty} a_{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{k} \quad(n \in \mathbb{N}) .$
Zeigen Sie, dass $\left(f_{n}\right)$ uneigent lich gegen $\infty$ konvergiert für $n \rightarrow \infty$.

Ich hab probiert mit der Bernoullische Ungleichung nach unten abzuschätzen. Komm damit aber nicht weiter

Answer 1

Hallo,

Deine Idee war schon richtig.

Also es sei $c>0$ vorgegeben. Zu zeigen ist: $f_n \geq c$ für hinreichen große n. Da die gegebene Reihe divergent ist, wählen wir ein $m \in \mathbb{N}$, so dass

$$\sum_{k=0}^ma_k \geq 2c$$

Für $n \geq 2m$ und $k \leq m$ gilt

$$(1-\frac{1}{n})^k \geq (1-\frac{1}{n})^m \geq 1-\frac{m}{n} \geq 1-\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$$

Also gilt für $n \geq 2m$:

$$f_n=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(1-\frac{1}{n})^k\geq \sum_{k=0}^m a_k(1-\frac{1}{n})^k \geq \frac{1}{2} 2c=c$$

Gruß Mathhilf