Bestimme den maximalen Definitionsbereich D von f und skizzieren Sie D

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f in zwei Veränderlichen mit

\( f(x, y)=\sqrt{x^{2}+4 x+y^{2}-6 y+12} \)

Bestimmen Sie den maximalen Defnitionsbereich D von f und skizzieren Sie D.

Problem/Ansatz:

Guten Abend, könnte mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein? Verstehe nicht was ich hier zutun habe...

Ich muss ja die Wurzel >= 0 machen, wie geht es aber danach weiter (kann ja nicht einfach alles auf eine Seite bringen, da ich 2 Variablen habe)?

Answer 1

Aloha :)

$$f(x;y)=\sqrt{x^2+4x+y^2-6y+12}=\sqrt{(x^2+4x+4)+(y^2-6y+9)-1}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(x+2)^2+(y-3)^2-1}$$Der Ausdruck unter der Wurzel muss \(\ge0\) sein. Die Wurzel ist also definiert, falls$$(x+2)^2+(y-3)^2\ge1$$Das ist der gesamte \(\mathbb R^2\) bis auf die Fläche eines Kreises mit Mittelpunkt \((-2|3)\) und Radius \(1\). Der Rand dieses Kreises gehört noch zum Definitionsbereich, nur das Innere dieses Kreises ist ausgenommen.

Comments

Vielen Dank für deine Erklärung ich hatte es falsch gemacht als ich es selber versucht habe

Answer 2

Hallo

unter der Wurzel muss ja was positives stehen,, die Grenze ist also Diskriminante Di =0

durch quadratische Ergänzung findest du den Mittelpunkt dieses Kreises, und dann hast du Di>=0 als Definitionsgebiet

Gruß lul

Comments

muss ja alles was unter der wurzel steht <= 0 machen

das weiß ich schon, wie löse ich das aber aus?

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Dort sind ja 2 Variablen, kann ja das dann nicht einfach auf eine Seite bringen oder hab ich was falsch verstanden?