Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion f an der Stelle (x_{0}, y_{0})=(1,1) .

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion in zwei Veränderlichen \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x, y)=x^{2} y-2 x^{2}-4 x y+8 x+4 y-8 . \)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangentialebene der Funktion \( f \) an der Stelle \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) \).

Lösung + Lösungsweg. Danke.

Answer 1

Aloha :)

Die Gleichung der Tangentialebene an eine Funktion$$f(x;y)=x^2y-2x^2-4xy+8x+4y-8$$im Punkt \((x_0;y_0)\) lautet allgemein:$$z=f(x_0;y_0)+\operatorname{grad}f(x_0;y_0)\cdot\binom{x-x_0}{y-y_0}$$Speziell für den Punkt \((x_0;y_0)=(1;1)\) ermitteln wir:$$\;\;\,f(x_0;y_0)=-1$$$$\left.\begin{array}{l}\frac{\partial f(1;1)}{\partial x}=\left(2xy-4x-4y+8\right)_{(1;1)}=2\\[2ex]\frac{\partial f(1;1)}{\partial y}=\left(x^2-4x+4\right)_{(1;1)}=1\end{array}\quad\right\}\implies\operatorname{grad}f(1;1)=\binom{2}{1}$$Das heißt für die gesuchte Tangentialebene:$$z=-1+\binom{2}{1}\binom{x-1}{y-1}=-1+2(x-1)+(y-1)=2x+y-4$$$$E_t\colon\;2x+y-z=4$$

Comments

Vielen Dank!!!!

Answer 2

Hallo

wie man die Gleichung der Tangentialebene  aus f_x und f_y  an den Stellen bestimmt hattet ihr doch sicher, sonst sieh in wiki unter Tangentialebene nach. die Ableitungen können doch wohl keine Schwierigkeit machen? z.B. f_x(1,1)=2

Wo scheiterst du denn?

Comments

Danke. Ich habs