Aufgabe:
a) Beveisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion.
Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} . \)
Vollstandige Jnduktion
(1) Induktionsanfang \( (I A) \checkmark \)
(2) Indukteonsvorausectrung (lv) \( v \)
(3) Induktiensschnitt (IS)
\( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
IA: \( n=1 \)
\( \underline{V}: \exists n \in \mathbb{N}: \)
IS: \( n \rightarrow n+1 \)
\( z . z: \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{2}{3^{k}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \)
\( \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{2}{3^{k}} &=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{1} \\ \frac{2}{3^{*}} &=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{1} \\ 0, \overline{66} &=0, \overline{66} \checkmark \end{aligned} \)
\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{2}{3^{k}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{2}{3^{k}}+\frac{2}{3^{n}+1} \)
\( =1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}+\frac{2}{3 n+1} \)
Problem/Ansatz:
Letzter Schritt der vollständigen Induktion.Komm leider mit der Umformung nicht weiter.Bitte um Hilfe
