Lineare Unabhängigkeit von Mengen: Für welche a, b, c, d e R ist die Menge {au+bv, cu+dv} linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Seien u und v Vektoren aus Rⁿ so, dass die Menge {u,v} linear unabhängig ist.

Für welche a, b, c, d e R ist die Menge {au+bv, cu+dv} linear unabhängig?

Ansatz:

Ich weiß, dass eine Menge linear unabhängig ist, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden.

Aber ich weiß nicht, wie ich das hier aufschreiben soll.

Answer 1

Aloha :)

Wir überlegen uns zunächst das Gegenteil, also für welche Werte $a,b,c,d$ die beiden Vektoren $a\vec u+b\vec v$ und $c\vec u+d\vec v$ linear abhängig sind. Die beiden Vektoren sind linear abhängig, wenn sich der eine Vektor bis auf einen konstanten Faktor $\lambda$ durch den anderen ausdrücken lässt:

$$a\vec u+b\vec v=\lambda(c\vec u+d\vec v)\quad\text{bzw.}\quad(a-\lambda c)\vec u=(\lambda d-b)\vec v$$Da $\vec u$ und $\vec v$ nach Voraussetzung linear unabhängig sind, kann diese Gleichung nur erfüllt sein, wenn die Koeffizienten beide Null sind:

$$a-\lambda c=0\;\;\land\;\;\lambda d-b=0\quad\text{bzw.}\quad\lambda c=a\;\;\land\;\;\lambda d=b$$Um das $\lambda$ wieder los zu werden, mutlitplizieren wir die erste Bedingung mit $d$ und die zweite mit $c$:

$$\lambda cd=ad\;\;\land\;\;\lambda cd=bc$$Lineare Abhängigkeit besteht also, wenn $$ad=\lambda cd=bc\quad\text{bzw.}\quad ad=bc$$ gilt. Im Umkehrschluss besteht lineare Unabhängigkeit, wenn gilt:$$ad\ne bc$$

Comments

Jetzt verstehe ich es. Dankeschön! :)

Answer 2

au+bv, cu+dv lin. unabh.

==>  x*(au+bv) + y *(cu+dv) = 0-Vektor geht nur für x=y=0

<=>  xau+xbv + ycu+ydv= 0-Vektor

<=>  xau+ ycu + xbv +ydv= 0-Vektor

<=>  (xa+yc)u    + (xb+yd) v= 0-Vektor

==> (da u,v lin. unabh.)

         xa+yc=0   und  xb+yd=0

Dieses ist ein hom.lin. Gleichungssystem

in den Variablen x und y und soll nur

die Lösung x=y=0 haben.

Dazu muss die Determinante ungleich 0 sein,

also ist die Bedingung für abcd:

        ad-cb≠0.