Berechnen Sie für die Funktion \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\sqrt[3]{x}, \quad x \in(0, \infty) \)
und die Entwicklungsstelle \( x_{0}=8 \) die Taylor-Polynome \( T_{0}(x), T_{1}(x), T_{2}(x), T_{3}(x) \)
Zeigen Sie für das Taylor-Polynom \( T_{2}(x) \), dass
\( \left|\sqrt[3]{x}-T_{2}(x)\right|<0.00004 \quad \text { für alle } \quad x \in[7.5,8.5] . \)
Benutzen Sie die Lagrangesche Darstellung des Restgliedes \( R_{2} \) in der TaylorEntwicklung von \( f \) zur Entwicklungsstelle \( x_{0}=8 \) und schätzen Sie \( \left|R_{2}(x)\right| \) geeignet ab.
