Permutation Vorzeichen Matrix

Question

Wie lautet das Vorzeichen von

a23 a31 a42 a56 a14 a65 in Δ?

Δ= \( \begin{pmatrix} a11&....&a16\\ .... .......\\ a61& ..... &a66 \end{pmatrix} \)

Ich weiss dass man irgendwie auf

σ= \( \begin{pmatrix} 1 2 3 4 5 6\\ 3 4 2 1 6 5 \end{pmatrix} \) 

kommt, aber ich verstehe nicht wie. Kann mir das bitte jemand erklären ?

Answer 1

a23 a31 a42 a56 a14 a65:

Wenn wir das Produkt nach wachsendem zweiten Index umordnen,

bekommen wir

\(a_{3,1}\cdot a_{4,2}\cdot a_{2,3}\cdot a_{1,4}\cdot a_{6,5}\cdot a_{5,6}\).

Dies soll der Summand \(\pm\prod_{i=1}^6 a_{\sigma(i),i}\) in der

Leibniz-Formel für die Determinante sein, der zu \(\sigma\) gehört.

Also ist \(\sigma(1)=3, \; \sigma(2)=4,\; \sigma(3)=2,\; \cdots\),

also die angegebene Permutation.