Reihe mit Majorantenkriterium auf Konvergenz und Divergenz prüfen

Question

Ich soll die folgende Reihe mithilfe des Majorantenvergleichskriterium auf Konvergenz und Divergenz untersuchen

 \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}-\frac{1}{n^{7}} \)

Ich habe den Term zunächst zusammengefasst, zu

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{6}-1}{n^{7}}\ \)

Wenn ich nun den Term mit der harmonischen Reihe 1/n vergleichen möchte, stelle ich fest, dass 1/n größer ist als

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{6}-1}{n^{7}}\ \)

und ich somit das Majorantenkriterium gar nicht anwenden kann.

Wie kann ich begründen (mit was vergleichen), dass der Term nach Majorantenkriterium divergent wird?

Comments

Divergenz überprüft man mit dem Minorantenkriterium.

Vielleich kann man ja von Deinem Ansatz noch etwas retten. Prüfe doch mal, ob

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n^7} \geq \frac{1}{2} \frac{1}{n}$$

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Bedenke dabei, dass das Minorantenkriterium erst
von einem gewissen n ab erfüllt sein muss ...

Answer 1

Aloha :)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^7}\right)=\underbrace{\left(\frac11-\frac{1}{1^7}\right)}_{=0}+\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac1n-\frac{1}{n^7}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac1n\left(1-\frac{1}{n^6}\right)$$Die untere Grenze der Summe ist nun bei \(n=2\), daher gilt:$$n\ge2\implies n^6\ge64\implies\frac{1}{n^6}\le\frac{1}{64}\implies-\frac{1}{n^6}\ge-\frac{1}{64}\implies1-\frac{1}{n^6}\ge\frac{63}{64}$$Daher können wir unsere Summe wie folgt abschätzen:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n^7}\right)\ge\frac{63}{64}\sum\limits_{n=2}^\infty\frac1n\to\infty$$Die verbliebene Summe der harmonischen Reihe ist bekanntlich divergent bzw. uneigentlich konvergent gegen \(+\infty\)