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Sei A ∈ Mat n×n(ℚ) die folgende Matrix:


Auf der Hauptdiagonalen laufen die Einträge von 1 bis n.

Alle weiteren Einträge sind 1.


Berechnen Sie die Determinante von A.

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Aloha :)

Subtrahiere die erste Zeile von allen anderen Zeilen. Dann erhältst du eine obere Dreieckmatrix, deren Determinante das Produkt der Elemente auf der Hauptdiagonalen ist.

$$\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 2 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 3 & 1 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 4 & 1 & \cdots & 1\\1 & 1 & 1 & 1 & 5 & \cdots & 1\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & n\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & 0 & 3 & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 4 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & n-1\end{array}\right|=(n-1)!$$Das gilt insbesondere für den Fall \(n=1\), weil \((1-1)!=0!=1\) ist.

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Berechne die Determinante für n=1, 2, 3, 4, 5. Dann siehst du ein Muster: det(An×n)=(n-1)!.

von 111 k 🚀

=(n-1)!                                      .

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